2006 AMC 12A 第 16 题

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16.

圆心为

A

和

B

的两个圆半径分别为

3

和

8

，一条公共内切线分别与两个圆交于

C

和

D

，直线

AB

与

CD

交于

E

，且

AE = 5

。

CD

是多少？

Circles with centers

A

and

B

have radii

3

and

8,

respectively. A common internal tangent intersects the circles at

C

and

D,

respectively. Lines

AB

and

CD

intersect at

E,

and

AE = 5.

What is

CD?

13

\dfrac{44}{3}

\sqrt{221}

\sqrt{255}

\dfrac{55}{3}

答案：B

知识点：相似切线勾股定理

难度评级：1760

小提示：

半径

AC

和

BD

都垂直于切线，所以

\triangle ACE \sim \triangle BDE

。

Radii

AC

and

BD

are perpendicular to the tangent, so

\triangle ACE \sim \triangle BDE

大提示：

CE = \sqrt{AE^2 - AC^2} = 4

，且

\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC}

。

CE = \sqrt{AE^2 - AC^2} = 4,

and

\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC}

解答：

半径满足

AC \perp CD

和

BD \perp CD

。由勾股定理，

CE = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4

。

因为

\triangle ACE \sim \triangle BDE

，得

\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC} = \tfrac{8}{3}

，所以

DE = 4 \cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{32}{3}

。因此

\begin{gathered} CD = CE + DE \\ = 4 + \frac{32}{3} \\ = \frac{44}{3} \end{gathered}\text{。}

因此，正确答案是 B。

The radii satisfy

AC \perp CD

and

BD \perp CD.

By the Pythagorean theorem,

CE = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4.

Since

\triangle ACE \sim \triangle BDE,

we get

\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC} = \tfrac{8}{3},

so

DE = 4 \cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{32}{3}.

Then

\begin{gathered} CD = CE + DE \\ = 4 + \frac{32}{3} \\ = \frac{44}{3}. \end{gathered}

Thus, the correct answer is B.

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