2005 AMC 12B 第 16 题

Question

八个半径为

1

的球，每个八分体中一个，都与坐标平面相切。以原点为球心、能包含这八个球的最小球的半径是多少？

Eight spheres of radius

1,

one per octant, are each tangent to the coordinate planes. What is the radius of the smallest sphere, centered at the origin, that contains these eight spheres?

\sqrt{2}

\sqrt{3}

1 + \sqrt{2}

1 + \sqrt{3}

3

答案：D

知识点：立体几何球距离公式

难度评级：1660

小提示：

一个在某个八分体内且与三个坐标平面相切的单位球，球心为

(\pm1, \pm1, \pm1)

。

A unit sphere tangent to all three coordinate planes in one octant has center

(\pm1, \pm1, \pm1)

大提示：

把原点到球心的距离再加上一个半径。

Add the distance from the origin to a center and one more radius

解答：

在某个八分体中，与三个坐标平面都相切、半径为

1

的球，其球心可取为

(1, 1, 1)

这样的点，于是

\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt3

就是球心到原点的距离。

这个球上离原点最远的点距离为

\sqrt3 + 1

，所以包含八个球的最小球半径为

1 + \sqrt3

。

所以正确答案是 D。

A sphere of radius

1

tangent to the three coordinate planes in one octant has its center at a point like

(1, 1, 1),

at distance

\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt3

from the origin.

The farthest point of that sphere from the origin is at distance

\sqrt3 + 1,

so the containing sphere has radius

1 + \sqrt3.

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 12B 第 16 题

答案：D

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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