Question

设 $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$ 。有多少个多项式 $Q(x)$ ，使得存在多项式 $R(x)$ ，其次数为 $3$ ，并满足 $P(Q(x)) = P(x) \cdot R(x)$ ？

Let $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3).$ For how many polynomials $Q(x)$ does there exist a polynomial $R(x)$ of degree $3$ such that $P(Q(x)) = P(x) \cdot R(x)?$

$19$

$22$

$24$

$27$

$32$

答案：B

知识点：多项式分类讨论

难度评级：2520

解答：

因为 $P(x)R(x)$ 次数为 $6$ ，而 $P(Q(x))$ 次数为 $3\deg Q$ ，所以 $\deg Q = 2$ 。二次多项式 $Q$ 由有序三元组 $(Q(1), Q(2), Q(3))$ 决定。

当 $x = 1, 2, 3$ 时，右侧为零，所以 $P(Q(x)) = 0$ ，迫使每个 $Q(1), Q(2), Q(3)$ 都属于 $\{1, 2, 3\}$ ，共有 $27$ 个三元组。

其中 $2$ 次以下的情形有五个：三个常数三元组 $(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3)$ ，以及线性函数 $Q(x) = x$ 的 $(1,2,3)$ 和 $Q(x) = 4 - x$ 的 $(3,2,1)$ 。其余 $27 - 5 = 22$ 个给出真正的二次多项式。

所以正确答案是 B。

Since $P(x)R(x)$ has degree $6$ and $P(Q(x))$ has degree $3\deg Q,$ we need $\deg Q = 2.$ A quadratic $Q$ is determined by the ordered triple $(Q(1), Q(2), Q(3)).$

At $x = 1, 2, 3$ the right side vanishes, so $P(Q(x)) = 0,$ forcing each of $Q(1), Q(2), Q(3)$ into $\{1, 2, 3\}.$ That gives $27$ triples.

Five of them give a polynomial of degree less than $2:$ the constants from $(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3)$ and the linear $Q(x) = x$ from $(1,2,3)$ and $Q(x) = 4 - x$ from $(3,2,1).$ The other $27 - 5 = 22$ triples are non-collinear and yield genuine quadratics.

Thus, the correct answer is B.

2005 AMC 12A 第 24 题

答案：B

难度评级：2520

解答：

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