2005 AMC 12A 第 23 题

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23.

随机选择两个不同的数

a

和

b

，它们都来自集合

\{2, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{25}\}

。

\log_a b

为整数的概率是多少？

Two distinct numbers

a

and

b

are chosen randomly from the set

\{2, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{25}\}.

What is the probability that

\log_a b

is an integer?

\dfrac{2}{25}

\dfrac{31}{300}

\dfrac{13}{100}

\dfrac{7}{50}

\dfrac{1}{2}

答案：B

知识点：整除性取整函数基本概率

难度评级：2330

小提示：

写

a = 2^j

、

b = 2^k

，则

\log_a b = \dfrac{k}{j}

。

Write

a = 2^j

and

b = 2^k,

so

\log_a b = \dfrac{k}{j}

大提示：

对每个

j

，数出

j

在

1, \ldots, 25

中的倍数；排除

j

本身后，个数为

\left\lfloor \tfrac{25}{j} \right\rfloor - 1

。

For each

j,

count the multiples of

j

among

1, \ldots, 25

other than

j

itself, namely

\left\lfloor \tfrac{25}{j} \right\rfloor - 1

解答：

设

a = 2^j

，

b = 2^k

。则

\log_a b = \dfrac{k}{j}

，它为整数当且仅当

k

是

j

的倍数。

对每个

j

，满足

k \ne j

且位于

\{1, \ldots, 25\}

中的有效指数共有

\left\lfloor \tfrac{25}{j} \right\rfloor - 1

个。对

j

求和得到

\begin{aligned} &24 + 11 + 7 + 5 + 4 + 3 + 2 \\ &\quad {}+ 2 + 4 \cdot 1 = 62 \end{aligned}

个有序对

(a, b)

。

总共有

25 \cdot 24 = 600

个有序不同对，所以概率为

\dfrac{62}{600} = \dfrac{31}{300}

。

所以正确答案是 B。

Let

a = 2^j

and

b = 2^k.

Then

\log_a b = \dfrac{k}{j},

which is an integer exactly when

k

is a multiple of

j.

For each

j,

the number of valid

k \ne j

in

\{1, \ldots, 25\}

is

\left\lfloor \tfrac{25}{j} \right\rfloor - 1.

Summing over

j

gives

\begin{aligned} &24 + 11 + 7 + 5 + 4 + 3 + 2 \\ &\quad {}+ 2 + 4 \cdot 1 = 62 \end{aligned}

ordered pairs

(a, b).

Since there are

25 \cdot 24 = 600

ordered pairs of distinct elements, the probability is

\dfrac{62}{600} = \dfrac{31}{300}.

Thus, the correct answer is B.

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