2004 AMC 12A 第 16 题

Question

使

\small \log_{2004}(\log_{2003}(\log_{2002}(\log_{2001} x)))

有定义的所有实数

x

的集合是

\{x \mid x \gt c\}

。

c

的值是多少？

The set of all real numbers

x

for which

\small \log_{2004}(\log_{2003}(\log_{2002}(\log_{2001} x)))

is defined is

\{x \mid x \gt c\}.

What is the value of

c?

0

2001^{2002}

2002^{2003}

2003^{2004}

2001^{2002^{2003}}

从外向内处理：每个对数都要求它的真数为正。

Work from the outside in: each logarithm requires its argument to be positive

\log_{2004}(\cdots)

有定义仅当

\log_{2003}(\cdots) \gt 0

，也就是下一层真数大于

1

。

\log_{2004}(\cdots)

is defined only when

\log_{2003}(\cdots) \gt 0,

i.e. the next argument exceeds

1

该表达式有定义当且仅当

\log_{2003}(\log_{2002}(\log_{2001} x)) \gt 0

，也就是

\log_{2002}(\log_{2001} x) \gt 1

。

这当且仅当

\log_{2001} x \gt 2002

，等价于

x \gt 2001^{2002}

。

因此

c = 2001^{2002}

。

所以正确答案是 B。

The expression is defined if and only if

\log_{2003}(\log_{2002}(\log_{2001} x)) \gt 0,

that is,

\log_{2002}(\log_{2001} x) \gt 1.

This holds if and only if

\log_{2001} x \gt 2002,

which is equivalent to

x \gt 2001^{2002}.

Therefore

c = 2001^{2002}.

Thus, the correct answer is B.

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