2003 AMC 12A 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

若

a \ge b \gt 1

，

\log_a(\frac{a}{b}) + \log_b(\frac{b}{a})

的最大可能值是多少？

If

a \ge b \gt 1,

what is the largest possible value of

\log_a(\frac{a}{b}) + \log_b(\frac{b}{a})?

-2

0

2

3

4

答案：B

知识点：对数算术-几何平均不等式

难度评级：2170

小提示：

化简为

2-\log_a b-\log_b a

。

Simplify to

2-\log_a b-\log_b a

大提示：

令

c=\log_a b\gt0

，使用

c+\dfrac1c\ge2

。

With

c=\log_a b\gt0,

use

c+\dfrac1c\ge2

解答：

展开得

\begin{aligned} &\log_a\dfrac ab+\log_b\dfrac ba \\ &\quad {}=(1-\log_a b)+(1-\log_b a) \\ &\quad {}=2-\left(\log_a b+\log_b a\right) \end{aligned}\text{。}

令

c=\log_a b\gt0

。由 AM-GM，

c+\dfrac1c\ge2

，所以原式至多为

0

。

当

c=1

，即

a=b

时取等号，因此最大值为

0

。

所以正确答案是 B。

Expand:

\begin{aligned} &\log_a\dfrac ab+\log_b\dfrac ba \\ &\quad {}=(1-\log_a b)+(1-\log_b a) \\ &\quad {}=2-\left(\log_a b+\log_b a\right). \end{aligned}

Let

c=\log_a b\gt0.

Since

c+\dfrac1c\ge2

by AM-GM, the expression is at most

0.

Equality holds when

c=1,

that is, when

a=b,

so the largest value is

0.

Thus, the correct answer is B.

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