Question

若 $a \ge b \gt 1$ ， $\log_a(a/b) + \log_b(b/a)$ 的最大可能值是多少？

If $a \ge b \gt 1,$ what is the largest possible value of $\log_a(a/b) + \log_b(b/a)?$

$-2$

$0$

$2$

$3$

$4$

答案：B

知识点：对数算术-几何平均不等式

难度评级：2170

解答：

展开得 $\begin{aligned} &\log_a\dfrac ab+\log_b\dfrac ba \\ &\quad {}=(1-\log_a b)+(1-\log_b a) \\ &\quad {}=2-\left(\log_a b+\log_b a\right). \end{aligned}$

令 $c=\log_a b\gt0$ 。由 AM-GM， $c+\dfrac1c\ge2$ ，所以原式至多为 $0$ 。

当 $c=1$ ，即 $a=b$ 时取等号，因此最大值为 $0$ 。

所以正确答案是 B。

Expand: $\begin{aligned} &\log_a\dfrac ab+\log_b\dfrac ba \\ &\quad {}=(1-\log_a b)+(1-\log_b a) \\ &\quad {}=2-\left(\log_a b+\log_b a\right). \end{aligned}$

Let $c=\log_a b\gt0.$ Since $c+\dfrac1c\ge2$ by AM-GM, the expression is at most $0.$

Equality holds when $c=1,$ that is, when $a=b,$ so the largest value is $0.$

Thus, the correct answer is B.

2003 AMC 12A 第 24 题

答案：B

难度评级：2170

解答：

其他年份的第 24 题