Question

一个等腰梯形外切于一个圆。梯形的长底为 $16$ ，其中一个底角为 $\arcsin(0.8)$ 。求梯形的面积。

An isosceles trapezoid is circumscribed around a circle. The longer base of the trapezoid is $16,$ and one of the base angles is $\arcsin(0.8).$ Find the area of the trapezoid.

$72$

$75$

$80$

$90$

不能唯一确定

not uniquely determined

答案：C

知识点：tangential quadrilateral isosceles trapezoid 三角学面积

难度评级：2160

小提示：

对于外切四边形，两组对边的长度和相等

For a circumscribed quadrilateral, the sums of opposite side lengths are equal

大提示：

利用 $\sin\alpha=\frac{4}{5}$ 和 $\cos\alpha=\frac{3}{5}$ 建立腰长、高和两底之差之间的关系

Use $\sin\alpha=\frac{4}{5}$ and $\cos\alpha=\frac{3}{5}$ to relate the leg, height, and difference of the bases

解答：

设短底为 $b$ ，两腰的长度均为 $\ell$ 。相切条件给出 $16+b=2\ell$ 。若底角为 $\alpha$ ，则 $\sin\alpha=\frac{4}{5},\ \cos\alpha=\frac{3}{5}$ ，且 $16-b=2\ell\cos\alpha=(\frac{6}{5})\ell$ 。解得 $b=4,\ \ell=10$ ，高为 $\ell\sin\alpha=8$ 。面积为 $\frac12(16+4)(8)=80$ 。

因此，正确答案是 C。

Let the shorter base be $b$ and each leg be $\ell.$ Tangency gives $16+b=2\ell.$ If the base angle is $\alpha,$ then $\sin\alpha=\frac{4}{5},\ \cos\alpha=\frac{3}{5},$ and $16-b=2\ell\cos\alpha=(\frac{6}{5})\ell.$ Solving gives $b=4,\ \ell=10,$ and height $\ell\sin\alpha=8.$ The area is $\frac12(16+4)(8)=80.$

Thus the correct answer is C.

1988 AMC 12 第 24 题

答案：C

难度评级：2160

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题