1986 AMC 12 第 24 题

Question

设

p(x)=x^2+bx+c

，其中

b

和

c

均为整数。若

p(x)

同时是下列两个多项式的因式：

x^4+6x^2+25

以及

3x^4+4x^2+28x+5\text{，}

那么

p(1)

等于多少？

Let

p(x)=x^2+bx+c,

where

b

and

c

are integers. If

p(x)

is a factor of both

x^4+6x^2+25

and

3x^4+4x^2+28x+5,

what is

p(1)?

0

1

2

4

8

公因式必定整除这两个多项式的任意整数线性组合

A common factor divides every integer linear combination of the two polynomials

用第一个多项式的三倍减去第二个多项式

Subtract the second polynomial from three times the first

公因式

p(x)

整除

\begin{aligned} &3(x^4+6x^2+25)\\ &\quad{}-(3x^4+4x^2+28x+5)\\ &\qquad=14(x^2-2x+5) \end{aligned}\text{。}

由于

p(x)

是整系数首一多项式，由高斯引理可知它整除

x^2-2x+5

。这两个多项式都是同次的首一多项式，所以

p(x)=x^2-2x+5

。因此

p(1)=1-2+5=4

。

因此正确答案是 D。

The common factor

p(x)

divides

\begin{aligned} &3(x^4+6x^2+25)\\ &\quad{}-(3x^4+4x^2+28x+5)\\ &\qquad=14(x^2-2x+5). \end{aligned}

Because

p(x)

is monic with integer coefficients, Gauss’s lemma implies that it divides

x^2-2x+5.

The two polynomials are monic and have the same degree, so

p(x)=x^2-2x+5.

Hence

p(1)=1-2+5=4.

Thus the correct answer is D.

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