2025 AMC 12B Problema 17
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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
17.
Cada uno de los cuadrados de una cuadrícula se va a colorear de rojo, azul o amarillo de manera que cada cuadrado rojo comparta un lado con al menos un cuadrado azul, cada cuadrado azul comparta un lado con al menos un cuadrado amarillo, y cada cuadrado amarillo comparta un lado con al menos un cuadrado rojo. Las coloraciones que se pueden obtener una de otra mediante rotaciones y/o reflexiones se consideran iguales. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?
Each of the squares in a grid is to be colored red, blue, or yellow in such a way that each red square shares an edge with at least one blue square, each blue square shares an edge with at least one yellow square, and each yellow square shares an edge with at least one red square. Colorings that can be obtained from one another by rotations and/or reflections are to be considered the same. How many different colorings are possible?
Respuesta: C
Solución:
Primero contamos las coloraciones de la cuadrícula con posiciones etiquetadas. Al comprobar sucesivamente las filas posibles y rechazar una fila en cuanto una casilla cuyos vecinos ya se conocen carece del color siguiente requerido, se obtiene el siguiente conteo completo según las cantidades de casillas rojas, azules y amarillas: Así, la identidad fija coloraciones.
Para las otras simetrías, los números de coloraciones fijas son para cada rotación no trivial, para cada reflexión respecto a un eje horizontal o vertical y para cada reflexión diagonal. (Para una reflexión axial, una comprobación directa de las tres filas palindrómicas da las posibilidades). Por tanto, el lema de Burnside da
Así, la respuesta correcta es C.
First count colorings of the grid with its positions labeled. Checking the possible rows in succession and rejecting a row as soon as a square whose neighbors are now known lacks its required next color gives the following complete count by the numbers of red, blue, and yellow squares: Thus the identity symmetry fixes colorings.
For the other symmetries, the fixed-coloring counts are for each nontrivial rotation, for each reflection across a horizontal or vertical axis, and for each diagonal reflection. (For an axis reflection, a direct check of the three palindromic rows gives the possibilities.) Therefore Burnside's lemma gives
Thus, the correct answer is C.
El Problema 17 en otros años
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