2025 AMC 12A Problema 9

Question

Sea

w

el número complejo

2 + i,

donde

i = \sqrt{-1}.

¿Qué número real

r

tiene la propiedad de que

r,

w,

y

w^2

son tres puntos colineales en el plano complejo?

Let

w

be the complex number

2 + i,

where

i = \sqrt{-1}.

What real number

r

has the property that

r,

w,

and

w^2

are three collinear points in the complex plane?

\dfrac{3}{4}

1

\dfrac{7}{5}

\dfrac{3}{2}

\dfrac{5}{3}

Respuesta: E

Conceptos:número complejo pendiente

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Calcula

w^2

, y trata

w = (2,1)

y

w^2

como puntos en el plano

Compute

w^2

and treat

w = (2,1)

and

w^2

as points in the plane

Pista grande:

Halla dónde la recta que pasa por

w

y

w^2

corta al eje real

Find where the line through

w

and

w^2

meets the real axis

Solución:

Al calcular

w^2 = (2+i)^2 = 3 + 4i,

los puntos son

(2,1)

y

(3,4).

La recta que pasa por ellos tiene pendiente

\dfrac{4-1}{3-2} = 3,

dando

y = 3x - 5.

Poniendo

y = 0

resulta

x = \dfrac{5}{3}.

Así que

r = \dfrac{5}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Compute

w^2 = (2+i)^2 = 3 + 4i,

so the points are

(2,1)

and

(3,4).

The line through them has slope

\dfrac{4-1}{3-2} = 3,

giving

y = 3x - 5.

Setting

y = 0

yields

x = \dfrac{5}{3}.

So

r = \dfrac{5}{3}.

Thus, the correct answer is E.