2024 AMC 12B Problema 9

Question

Un tablero de dardos es la región

B

en el plano de coordenadas formada por los puntos

(x, y)

tales que

|x| + |y| \le 8.

Un blanco

T

es la región donde

(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49.

Se lanza un dardo y cae en un punto aleatorio de

B.

La probabilidad de que el dardo caiga en

T

puede expresarse como

\dfrac{m}{n} \cdot \pi,

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale

m + n

?

A dartboard is the region

B

in the coordinate plane consisting of points

(x, y)

such that

|x| + |y| \le 8.

A target

T

is the region where

(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49.

A dart is thrown and lands at a random point in

B.

The probability that the dart lands in

T

can be expressed as

\dfrac{m}{n} \cdot \pi,

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. What is

m + n?

39

71

73

75

135

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad geométrica corona circular

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

La región

B

es un cuadrado con diagonales de longitud

16,

y

(x^2+y^2-25)^2 \le 49

significa

18 \le x^2 + y^2 \le 32

.

The region

B

is a square with diagonals of length

16,

and

(x^2+y^2-25)^2 \le 49

means

18 \le x^2 + y^2 \le 32

Pista grande:

El anillo

T

tiene área

\pi(32 - 18);

comprueba que su radio exterior

\sqrt{32}

alcanza exactamente los lados de

B,

así que

T

queda por completo dentro de

B

.

The annulus

T

has area

\pi(32 - 18);

check that its outer radius

\sqrt{32}

exactly reaches the sides of

B,

so

T

lies entirely inside

B

Solución:

El tablero

|x| + |y| \le 8

es un cuadrado con diagonales

16,

así que su área es

\tfrac12 \cdot 16 \cdot 16 = 128.

La condición del blanco

(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49

significa

-7 \le x^2 + y^2 - 25 \le 7,

es decir

18 \le x^2 + y^2 \le 32,

un anillo de área

\pi(32 - 18) = 14\pi.

La distancia del origen a un lado del cuadrado (por ejemplo

x + y = 8

) es

\dfrac{8}{\sqrt2} = \sqrt{32},

exactamente el radio exterior del anillo. Así que el anillo es tangente al cuadrado y queda por completo dentro de

B.

La probabilidad es

\dfrac{14\pi}{128} = \dfrac{7}{64}\pi,

lo que da

m + n = 7 + 64 = 71.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The dartboard

|x| + |y| \le 8

is a square with diagonals

16,

so its area is

\tfrac12 \cdot 16 \cdot 16 = 128.

The target condition

(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49

means

-7 \le x^2 + y^2 - 25 \le 7,

i.e.

18 \le x^2 + y^2 \le 32,

an annulus of area

\pi(32 - 18) = 14\pi.

The distance from the origin to a side of the square (for instance

x + y = 8

) is

\dfrac{8}{\sqrt2} = \sqrt{32},

exactly the annulus’s outer radius. So the annulus is tangent to the square and lies entirely within

B.

The probability is

\dfrac{14\pi}{128} = \dfrac{7}{64}\pi,

giving

m + n = 7 + 64 = 71.

Thus, the correct answer is B.