2024 AMC 12B Problema 17

Question

Los enteros

a

y

b

se eligen al azar sin reemplazo del conjunto de enteros cuyo valor absoluto no excede

10.

¿Cuál es la probabilidad de que el polinomio

x^3 + ax^2 + bx + 6

tenga

3

raíces enteras distintas?

Integers

a

and

b

are randomly chosen without replacement from the set of integers with absolute value not exceeding

10.

What is the probability that the polynomial

x^3 + ax^2 + bx + 6

has

3

distinct integer roots?

\dfrac{1}{240}

\dfrac{1}{221}

\dfrac{1}{105}

\dfrac{1}{84}

\dfrac{1}{63}

Respuesta: C

Conceptos:Fórmulas de Vieta probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Si las raíces son enteros distintos

p, q, r,

entonces

pqr = -6,

a = -(p+q+r),

y

b = pq + qr + rp

.

If the roots are distinct integers

p, q, r,

then

pqr = -6,

a = -(p+q+r),

and

b = pq + qr + rp

Pista grande:

Enumera las maneras de escribir

-6

como producto de tres enteros distintos, descarta las que dan

|a|\gt 10

o

|b| \gt 10,

y divide entre

21 \cdot 20

elecciones ordenadas.

List the ways to write

-6

as a product of three distinct integers, discard any giving

|a|\gt 10

or

|b| \gt 10,

and divide by

21 \cdot 20

ordered choices

Solución:

El conjunto tiene

21

enteros, así que hay

21 \cdot 20 = 420

elecciones ordenadas de

(a, b).

Si el polinomio tiene raíces enteras distintas

p, q, r,

entonces

pqr = -6,

a = -(p + q + r),

y

b = pq + qr + rp.

Las ternas de enteros distintos con producto

-6

son

\{1, 2, -3\},

\{1, -2, 3\},

\{-1, 2, 3\},

\{-1, -2, -3\},

y

\{1, -1, 6\}.

Estas dan

(a, b) = (0, -7),

(-2, -5),

(-4, 1),

(6, 11),

y

(-6, -1).

La cuarta tiene

b = 11 \gt 10,

así que no es válida; las otras cuatro son válidas y distintas.

La probabilidad es

\dfrac{4}{420} = \dfrac{1}{105}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The set has

21

integers, so there are

21 \cdot 20 = 420

ordered choices of

(a, b).

If the polynomial has distinct integer roots

p, q, r,

then

pqr = -6,

a = -(p + q + r),

and

b = pq + qr + rp.

The triples of distinct integers with product

-6

are

\{1, 2, -3\},

\{1, -2, 3\},

\{-1, 2, 3\},

\{-1, -2, -3\},

and

\{1, -1, 6\}.

These give

(a, b) = (0, -7),

(-2, -5),

(-4, 1),

(6, 11),

and

(-6, -1).

The fourth has

b = 11 \gt 10,

so it is invalid; the other four are valid and distinct.

The probability is

\dfrac{4}{420} = \dfrac{1}{105}.

Thus, the correct answer is C.