2023 AMC 12B Problema 7

Question

¿Para cuántos enteros

n

la expresión

\sqrt{\frac{\log(n^2)-(\log n)^2}{\log n-3}}

representa un número real, donde

\log

denota el logaritmo en base

10

?

For how many integers

n

does the expression

\sqrt{\frac{\log(n^2)-(\log n)^2}{\log n-3}}

represent a real number, where

\log

denotes the base

10

logarithm?

900

3

902

2

901

Respuesta: E

Conceptos:logaritmo desigualdad

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

La expresión es real exactamente cuando la fracción bajo la raíz cuadrada es

\ge 0

The expression is real exactly when the fraction under the square root is

\ge 0

Pista grande:

Sea

L=\log n;

la fracción es

\dfrac{L(2-L)}{L-3}\ge 0,

y

n

debe ser un entero positivo

Let

L=\log n;

the fraction is

\dfrac{L(2-L)}{L-3}\ge 0,

and

n

must be a positive integer

Solución:

Escribe

L=\log n.

Entonces

\log(n^2)-(\log n)^2

=2L-L^2

=L(2-L),

y la fracción es

\dfrac{L(2-L)}{L-3}.

Un análisis de signos muestra que esto es

\ge 0

exactamente cuando

L\le 0

o

2\le L\lt 3.

Como

n

es un entero positivo,

L\le 0

obliga a

n=1,

mientras que

2\le L\lt 3

da

100\le n\le 999,

que son

900

valores. En total

1+900=901.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write

L=\log n.

Then

\log(n^2)-(\log n)^2

=2L-L^2

=L(2-L),

and the fraction is

\dfrac{L(2-L)}{L-3}.

A sign chart shows this is

\ge 0

exactly when

L\le 0

or

2\le L\lt 3.

Since

n

is a positive integer,

L\le 0

forces

n=1,

while

2\le L\lt 3

gives

100\le n\le 999,

which is

900

values. In total

1+900=901.

Thus, the correct answer is E.