2023 AMC 12B Problema 17

Question

El triángulo

ABC

tiene longitudes de lados en progresión aritmética, y el lado más pequeño tiene longitud

6.

Si el triángulo tiene un ángulo de

120^\circ,

¿cuál es el área de

ABC

?

Triangle

ABC

has side lengths in arithmetic progression, and the smallest side has length

6.

If the triangle has an angle of

120^\circ,

what is the area of

ABC?

12\sqrt{3}

8\sqrt{6}

14\sqrt{2}

20\sqrt{2}

15\sqrt{3}

Respuesta: E

Conceptos:sucesión aritmética ley de los cosenos área del triángulo

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Sean los lados

6,\ 6+d,\ 6+2d;

el ángulo de

120^\circ

es opuesto al lado más largo

Let the sides be

6,\ 6+d,\ 6+2d;

the

120^\circ

angle is opposite the longest side

Pista grande:

Aplica la ley de cosenos con

\cos 120^\circ=-\tfrac12

para hallar

d,

luego el área

=\tfrac12ab\sin 120^\circ

Apply the law of cosines with

\cos 120^\circ=-\tfrac12

to find

d,

then area

=\tfrac12ab\sin 120^\circ

Solución:

Sean los lados

6,\ 6+d,\ 6+2d.

El ángulo de

120^\circ

está frente al lado más largo, así que

(6+2d)^2=6^2+(6+d)^2

-2\cdot 6\cdot(6+d)\cos 120^\circ.

Usando

\cos 120^\circ=-\tfrac12

se obtiene

3d^2+6d-72=0,

así que

d=4

y los lados son

6,10,14.

El área es

\tfrac12\cdot 6\cdot 10\cdot\sin 120^\circ

=30\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}

=15\sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the sides be

6,\ 6+d,\ 6+2d.

The

120^\circ

angle faces the longest side, so

(6+2d)^2=6^2+(6+d)^2

-2\cdot 6\cdot(6+d)\cos 120^\circ.

Using

\cos 120^\circ=-\tfrac12

gives

3d^2+6d-72=0,

so

d=4

and the sides are

6,10,14.

The area is

\tfrac12\cdot 6\cdot 10\cdot\sin 120^\circ

=30\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}

=15\sqrt3.

Thus, the correct answer is E.