2023 AMC 12A Problema 9

Question

Un cuadrado de área

2

está inscrito en un cuadrado de área

3,

formando cuatro triángulos congruentes, como se muestra a continuación. ¿Cuál es la razón entre el cateto más corto y el cateto más largo en el triángulo rectángulo sombreado?

A square of area

2

is inscribed in a square of area

3,

creating four congruent triangles, as shown below. What is the ratio of the shorter leg to the longer leg in the shaded right triangle?

\dfrac{1}{5}

\dfrac{1}{4}

2-\sqrt{3}

\sqrt{3}-\sqrt{2}

\sqrt{2}-1

Respuesta: C

Conceptos:cuadrado (geometría)Teorema de Pitágoras sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

El cuadrado exterior tiene lado

\sqrt3

y el cuadrado interior tiene lado

\sqrt2

The outer square has side

\sqrt3

and the inner square has side

\sqrt2

Pista grande:

Si los catetos son

p

y

q,

entonces

p+q=\sqrt3

y

p^2+q^2=2

If the legs are

p

and

q,

then

p+q=\sqrt3

and

p^2+q^2=2

Solución:

El cuadrado exterior tiene lado

\sqrt3

y el cuadrado interior tiene lado

\sqrt2.

Cada triángulo es rectángulo, con catetos

p

y

q

a lo largo de un lado exterior, así que

p+q=\sqrt3,

y con hipotenusa igual a un lado interior, así que

p^2+q^2=2.

Entonces

(p+q)^2=3

da

2pq=1,

así que

p

y

q

son las raíces de

t^2-\sqrt3\,t+\tfrac12=0,

es decir

\dfrac{\sqrt3\pm 1}{2}.

La razón del cateto más corto al más largo es

\begin{gathered} \dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\\ {}=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{2}\\ {}=2-\sqrt3. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The outer square has side

\sqrt3

and the inner square has side

\sqrt2.

Each triangle is right, with legs

p

and

q

along an outer side, so

p+q=\sqrt3,

and with hypotenuse an inner side, so

p^2+q^2=2.

Then

(p+q)^2=3

gives

2pq=1,

so

p

and

q

are the roots of

t^2-\sqrt3\,t+\tfrac12=0,

namely

\dfrac{\sqrt3\pm 1}{2}.

The ratio of shorter to longer leg is

\begin{gathered} \dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\\ {}=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{2}\\ {}=2-\sqrt3. \end{gathered}

Thus, the correct answer is C.