Question

La rana Flora empieza en $0$ en la recta numérica y realiza una sucesión de saltos hacia la derecha. En cualquier salto, independientemente de los saltos anteriores, Flora salta una distancia entera positiva $m$ con probabilidad $\dfrac{1}{2^m}.$ ¿Cuál es la probabilidad de que Flora acabe cayendo en $10$ ?

Flora the frog starts at $0$ on the number line and makes a sequence of jumps to the right. In any one jump, independent of previous jumps, Flora leaps a positive integer distance $m$ with probability $\dfrac{1}{2^m}.$ What is the probability that Flora will eventually land at $10?$

$\dfrac{5}{512}$

$\dfrac{45}{1024}$

$\dfrac{127}{1024}$

$\dfrac{511}{1024}$

$\dfrac{1}{2}$

Respuesta: E

Conceptos:probabilidad recursiva recursión

Nivel de dificultad: 1910

Solución:

Sea $a_n$ la probabilidad de que Flora caiga alguna vez exactamente en $n,$ con $a_0=1.$ Condicionando según el primer salto, $a_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^k}\,a_{n-k}.$

Demostramos por inducción que $a_n=\tfrac12$ para todo $n\ge 1.$ El caso $n=1$ es inmediato. Si la afirmación vale hasta $n-1,$ entonces $\begin{aligned} a_n&=\frac{1}{2^n}a_0 +\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^k}\cdot\frac12\\ &=\frac{1}{2^n} +\frac12\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)\\ &=\frac12. \end{aligned}$

Por tanto, la probabilidad de caer en $10$ es $\dfrac12.$

Así, la respuesta correcta es E.

Let $a_n$ be the probability that Flora ever lands exactly on $n,$ with $a_0=1.$ Conditioning on the first jump, $a_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^k}\,a_{n-k}.$

We prove by induction that $a_n=\tfrac12$ for every $n\ge 1.$ The case $n=1$ is immediate. If the claim holds through $n-1,$ then $\begin{aligned} a_n&=\frac{1}{2^n}a_0 +\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^k}\cdot\frac12\\ &=\frac{1}{2^n} +\frac12\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)\\ &=\frac12. \end{aligned}$

Hence the probability of landing on $10$ is $\dfrac12.$

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12A Problema 17

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1910

Solución:

El Problema 17 en otros años