2022 AMC 12B Problema 9

Question

La sucesión

a_0,

a_1,

a_2,

\cdots

es una progresión aritmética estrictamente creciente de enteros positivos tal que

2^{a_7} = 2^{27} \cdot a_7.

¿Cuál es el mínimo valor posible de

a_2

?

The sequence

a_0,

a_1,

a_2,

\cdots

is a strictly increasing arithmetic sequence of positive integers such that

2^{a_7} = 2^{27} \cdot a_7.

What is the minimum possible value of

a_2?

8

12

16

17

22

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética exponente optimización

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Divide ambos lados entre

2^{27}

para obtener

2^{a_7 - 27} = a_7

.

Divide both sides by

2^{27}

to get

2^{a_7 - 27} = a_7

Pista grande:

Después de hallar

a_7,

escribe

a_2 = a_7 - 5d

y haz la diferencia común

d

lo más grande posible.

After finding

a_7,

write

a_2 = a_7 - 5d

and make the common difference

d

as large as possible

Solución:

Al dividir entre

2^{27},

necesitamos

2^{a_7 - 27} = a_7.

Por tanto,

a_7=2^j

y

2^j-j=27,

donde

j=a_7-27\ge0.

El lado izquierdo es estrictamente creciente para

j\ge1,

y

j=5

funciona, así que de manera única

a_7=32.

Con diferencia común

d \ge 1,

tenemos

a_7 = a_0 + 7d = 32

y

a_2 = a_0 + 2d = 32 - 5d.

Para minimizar

a_2

, maximizamos

d;

como

a_0 = 32 - 7d \ge 1,

la mayor opción es

d = 4

(que da

a_0 = 4

).

Entonces

a_2 = 32 - 20 = 12.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Dividing by

2^{27},

we need

2^{a_7 - 27} = a_7.

Thus

a_7=2^j

and

2^j-j=27,

where

j=a_7-27\ge0.

The left side is strictly increasing for

j\ge1,

and

j=5

works, so uniquely

a_7=32.

With common difference

d \ge 1,

we have

a_7 = a_0 + 7d = 32

and

a_2 = a_0 + 2d = 32 - 5d.

To minimize

a_2

we maximize

d;

since

a_0 = 32 - 7d \ge 1,

the largest choice is

d = 4

(giving

a_0 = 4

).

Then

a_2 = 32 - 20 = 12.

Thus, the correct answer is B.