2022 AMC 12B Problema 24

Question

La figura de abajo representa un

7

-gono regular inscrito en una circunferencia unitaria.

¿Cuál es la suma de las

4

-ésimas potencias de las longitudes de las

21

aristas y diagonales?

The figure below depicts a regular

7

-gon inscribed in a unit circle.

What is the sum of the

4

th powers of the lengths of all

21

of its edges and diagonals?

49

98

147

168

196

Respuesta: C

Conceptos:cuerda raíces de la unidad identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2370

Pista pequeña:

Una cuerda entre vértices separados

d

tiene longitud al cuadrado

2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7};

hay

7

de cada tipo

d = 1, 2, 3

.

A chord between vertices

d

apart has squared length

2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7};

there are

7

of each type

d = 1, 2, 3

Pista grande:

Usa

\sum_{d=1}^{3} \cos\dfrac{2\pi d}{7} = -\dfrac12

para evaluar

\sum \left(2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}\right)^2

.

Use

\sum_{d=1}^{3} \cos\dfrac{2\pi d}{7} = -\dfrac12

to evaluate

\sum \left(2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}\right)^2

Solución:

Una cuerda que une dos vértices separados

d

pasos tiene longitud al cuadrado

2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7},

y hay

7

cuerdas para cada

d = 1, 2, 3.

La suma buscada es

7 \sum_{d=1}^{3} \left(2 - 2\cos\tfrac{2\pi d}{7}\right)^2.

Usando

\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos\tfrac{2\pi d}{7} = -\tfrac12

y

\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos^2\tfrac{2\pi d}{7} = \tfrac54,

la suma interior se expande a

4\left(3 + 1 + \tfrac54\right) = 21.

Por lo tanto, el total es

7 \cdot 21 = 147.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A chord joining two vertices

d

steps apart has squared length

2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7},

and there are

7

chords for each of

d = 1, 2, 3.

The required sum is

7 \sum_{d=1}^{3} \left(2 - 2\cos\tfrac{2\pi d}{7}\right)^2.

Using

\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos\tfrac{2\pi d}{7} = -\tfrac12

and

\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos^2\tfrac{2\pi d}{7} = \tfrac54,

the inner sum expands to

4\left(3 + 1 + \tfrac54\right) = 21.

Therefore the total is

7 \cdot 21 = 147.

Thus, the correct answer is C.