Question

El cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene $AB = 18,$ $\angle A = 60^\circ,$ y $\overline{AB} \parallel \overline{CD}.$ En algún orden, las longitudes de los cuatro lados forman una progresión aritmética, y el lado $AB$ es un lado de longitud máxima. La longitud de otro lado es $a.$ ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $a$ ?

Convex quadrilateral $ABCD$ has $AB = 18,$ $\angle A = 60^\circ,$ and $\overline{AB} \parallel \overline{CD}.$ In some order, the lengths of the four sides form an arithmetic progression, and side $AB$ is a side of maximum length. The length of another side is $a.$ What is the sum of all possible values of $a?$

$24$

$42$

$60$

$66$

$84$

Respuesta: E

Conceptos:trapecio sucesión aritmética análisis por casos

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

Como $AB = 18$ es el mayor, los cuatro lados son $18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d.$ Tomemos $A = (0,0),$ $B = (18,0),$ y $D = \left(\tfrac{m}{2}, \tfrac{m\sqrt3}{2}\right)$ con $m=DA,$ y sean $n=CD$ y $\ell=BC.$ Entonces $C=(\tfrac m2+n,\tfrac{m\sqrt3}{2}),$ así que $\begin{aligned} \ell^2&=m^2+(18-n)^2 \\ &\quad {}-m(18-n). \end{aligned}$

Escribamos $u_j=18-jd$ para $j=1,2,3.$ Al sustituir las permutaciones $123,132,213,231,312,321$ de $(u_1,u_2,u_3)$ por $(m,n,\ell)$ , se obtienen los candidatos no nulos $d=18,2,9,5,6,6,$ respectivamente. La positividad de $u_3$ exige $d<6,$ dejando solo $d=2$ y $d=5.$ El caso $d=0$ también da un rombo válido.

Así, los conjuntos de lados son $\{18,16,14,12\},$ $\{18,13,8,3\},$ y $\{18,18,18,18\}.$

Los posibles valores de un lado distinto de $AB$ son $\{3, 8, 12, 13, 14, 16, 18\},$ cuya suma es $84.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $AB = 18$ is the largest, the four sides are $18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d.$ Placing $A = (0,0),$ $B = (18,0),$ and $D = \left(\tfrac{m}{2}, \tfrac{m\sqrt3}{2}\right)$ with $m=DA,$ let $n=CD$ and $\ell=BC.$ Then $C=(\tfrac m2+n,\tfrac{m\sqrt3}{2}),$ so $\begin{aligned} \ell^2&=m^2+(18-n)^2 \\ &\quad {}-m(18-n). \end{aligned}$

Write $u_j=18-jd$ for $j=1,2,3.$ Substituting the permutations $123,132,213,231,312,321$ of $(u_1,u_2,u_3)$ for $(m,n,\ell)$ gives the nonzero candidates $d=18,2,9,5,6,6,$ respectively. Positivity of $u_3$ requires $d<6,$ leaving only $d=2$ and $d=5.$ The case $d=0$ also gives a valid rhombus.

Thus the side sets are $\{18,16,14,12\},$ $\{18,13,8,3\},$ and $\{18,18,18,18\}.$

The possible values of a non- $AB$ side length are $\{3, 8, 12, 13, 14, 16, 18\},$ whose sum is $84.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Fall Problema 24

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

El Problema 24 en otros años