2021 AMC 12A Fall Problema 24

Question

El cuadrilátero convexo

ABCD

tiene

AB = 18,

\angle A = 60^\circ,

y

\overline{AB} \parallel \overline{CD}.

En algún orden, las longitudes de los cuatro lados forman una progresión aritmética, y el lado

AB

es un lado de longitud máxima. La longitud de otro lado es

a.

¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de

a

?

Convex quadrilateral

ABCD

has

AB = 18,

\angle A = 60^\circ,

and

\overline{AB} \parallel \overline{CD}.

In some order, the lengths of the four sides form an arithmetic progression, and side

AB

is a side of maximum length. The length of another side is

a.

What is the sum of all possible values of

a?

24

42

60

66

84

Respuesta: E

Conceptos:trapecio sucesión aritmética análisis por casos

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Como

AB = 18

es el máximo, los cuatro lados son

18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d;

coloca

A = (0,0),

B = (18,0),

y

D

en el ángulo

60^\circ

With

AB = 18

the maximum, the four sides are

18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d;

place

A = (0,0),

B = (18,0),

and

D

at angle

60^\circ

Pista grande:

Para cada asignación de las tres longitudes menores a

BC, CD, DA,

impón que

\overline{CD}

sea horizontal y despeja

d;

incluye también el rombo degenerado

d = 0

For each assignment of the three smaller lengths to

BC, CD, DA,

impose that

\overline{CD}

is horizontal and solve for

d;

also include common difference

d = 0

Solución:

Como

AB = 18

es el mayor, los cuatro lados son

18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d.

Tomemos

A = (0,0),

B = (18,0),

y

D = \left(\tfrac{m}{2}, \tfrac{m\sqrt3}{2}\right)

con

m=DA,

y sean

n=CD

y

\ell=BC.

Entonces

C=(\tfrac m2+n,\tfrac{m\sqrt3}{2}),

así que

\begin{aligned} \ell^2&=m^2+(18-n)^2 \\ &\quad {}-m(18-n). \end{aligned}

Escribamos

u_j=18-jd

para

j=1,2,3.

Al sustituir las permutaciones

123,132,213,231,312,321

de

(u_1,u_2,u_3)

por

(m,n,\ell)

, se obtienen los candidatos no nulos

d=18,2,9,5,6,6,

respectivamente. La positividad de

u_3

exige

d<6,

dejando solo

d=2

y

d=5.

El caso

d=0

también da un rombo válido.

Así, los conjuntos de lados son

\{18,16,14,12\},

\{18,13,8,3\},

y

\{18,18,18,18\}.

Los posibles valores de un lado distinto de

AB

son

\{3, 8, 12, 13, 14, 16, 18\},

cuya suma es

84.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since

AB = 18

is the largest, the four sides are

18, 18 - d, 18 - 2d, 18 - 3d.

Placing

A = (0,0),

B = (18,0),

and

D = \left(\tfrac{m}{2}, \tfrac{m\sqrt3}{2}\right)

with

m=DA,

let

n=CD

and

\ell=BC.

Then

C=(\tfrac m2+n,\tfrac{m\sqrt3}{2}),

so

\begin{aligned} \ell^2&=m^2+(18-n)^2 \\ &\quad {}-m(18-n). \end{aligned}

Write

u_j=18-jd

for

j=1,2,3.

Substituting the permutations

123,132,213,231,312,321

of

(u_1,u_2,u_3)

for

(m,n,\ell)

gives the nonzero candidates

d=18,2,9,5,6,6,

respectively. Positivity of

u_3

requires

d<6,

leaving only

d=2

and

d=5.

The case

d=0

also gives a valid rhombus.

Thus the side sets are

\{18,16,14,12\},

\{18,13,8,3\},

and

\{18,18,18,18\}.

The possible values of a non-

AB

side length are

\{3, 8, 12, 13, 14, 16, 18\},

whose sum is

84.

Thus, the correct answer is E.