2021 AMC 12A Fall Problema 22

Question

Azar y Carl juegan una partida de tres en raya. Azar coloca una

X

en una de las casillas de un arreglo de casillas de

3

por

3

, luego Carl coloca una

O

en una de las casillas restantes. Después de eso, Azar coloca una

X

en una de las casillas restantes, y así sucesivamente hasta que las

9

casillas estén llenas o uno de los jugadores tenga

3

de sus símbolos en una línea (horizontal, vertical o diagonal), lo que ocurra primero, en cuyo caso ese jugador gana la partida. Supón que los jugadores hacen sus jugadas al azar, en lugar de intentar seguir una estrategia racional, y que Carl gana la partida cuando coloca su tercera

O.

¿De cuántas maneras puede verse el tablero después de que la partida termina?

Azar and Carl play a game of tic-tac-toe. Azar places an

X

in one of the boxes in a

3

-by-

3

array of boxes, then Carl places an

O

in one of the remaining boxes. After that, Azar places an

X

in one of the remaining boxes, and so on until all

9

boxes are filled or one of the players has

3

of their symbols in a row — horizontal, vertical, or diagonal — whichever comes first, in which case that player wins the game. Suppose the players make their moves at random, rather than trying to follow a rational strategy, and that Carl wins the game when he places his third

O.

How many ways can the board look after the game is over?

36

112

120

148

160

Respuesta: D

Conceptos:análisis por casos combinaciones conteo complementario

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

El tablero final tiene tres

O

formando una línea y tres

X

que no deben formar ellas mismas una línea

The final board has three

O

s forming a line and three

X

s that must not themselves form a line

Pista grande:

Divide en casos según si la línea de

O

es una fila/columna o una diagonal, ya que eso cambia cuántas colocaciones de

X

hacen accidentalmente una fila

Split into cases by whether

O

’s line is a row/column or a diagonal, since that changes how many

X

placements accidentally make a row

Solución:

Carl gana con su tercera

O,

así que el tablero tiene tres

O

formando una de las

8

líneas y tres

X

en las otras seis casillas. Las

X

no deben formar una línea (de lo contrario, Azar habría ganado primero).

Si la línea de

O

es una fila o columna (

6

opciones), las seis casillas restantes contienen dos líneas completas, así que las colocaciones válidas de

X

suman

\binom{6}{3} - 2 = 18.

Si la línea de

O

es una diagonal (

2

opciones), las seis casillas restantes no contienen ninguna línea completa, dando

\binom{6}{3} = 20.

El total es

6\cdot 18 + 2\cdot 20 = 108 + 40 = 148.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Carl wins on his third

O,

so the board has three

O

s forming one of the

8

lines and three

X

s in the other six cells. The

X

s must not form a line (else Azar would have won first).

If the

O

line is a row or column (

6

choices), the remaining six cells contain two full lines, so valid

X

placements number

\binom{6}{3} - 2 = 18.

If the

O

line is a diagonal (

2

choices), the remaining six cells contain no full line, giving

\binom{6}{3} = 20.

The total is

6\cdot 18 + 2\cdot 20 = 108 + 40 = 148.

Thus, the correct answer is D.