2021 AMC 12B Spring Problema 24

Question

Sea

ABCD

un paralelogramo de área

15.

Los puntos

P

y

Q

son las proyecciones de

A

y

C,

respectivamente, sobre la recta

BD;

y los puntos

R

y

S

son las proyecciones de

B

y

D,

respectivamente, sobre la recta

AC.

Observa la figura, que también muestra las posiciones relativas de estos puntos.

Supongamos que

PQ=6

y

RS=8,

y sea

d

la longitud de

\overline{BD},

la diagonal más larga de

ABCD.

Entonces

d^2

puede escribirse en la forma

m+n\sqrt p,

donde

m,

n,

y

p

son enteros positivos y

p

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale

m+n+p

?

Let

ABCD

be a parallelogram with area

15.

Points

P

and

Q

are the projections of

A

and

C,

respectively, onto the line

BD;

and points

R

and

S

are the projections of

B

and

D,

respectively, onto the line

AC.

See the figure, which also shows the relative locations of these points.

Suppose

PQ=6

and

RS=8,

and let

d

denote the length of

\overline{BD},

the longer diagonal of

ABCD.

Then

d^2

can be written in the form

m+n\sqrt p,

where

m,

n,

and

p

are positive integers and

p

is not divisible by the square of any prime. What is

m+n+p?

81

89

97

105

113

Respuesta: A

Conceptos:paralelogramo trigonometría área

Nivel de dificultad: 2480

Pista pequeña:

Sea

\theta

el ángulo entre las diagonales; entonces

PQ=AC\cos\theta

y

RS=BD\cos\theta

Let

\theta

be the angle between the diagonals; then

PQ=AC\cos\theta

and

RS=BD\cos\theta

Pista grande:

El área es

\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15,

que se combina con

AC\cos\theta=6,

BD\cos\theta=8

The area is

\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15,

which combines with

AC\cos\theta=6,

BD\cos\theta=8

Solución:

Sean las diagonales que se cortan en

O

formando un ángulo

\theta.

Los pies de las perpendiculares desde

A

y

C

a

BD

son simétricos respecto a

O,

así que

PQ=AC\cos\theta=6;

del mismo modo

RS=BD\cos\theta=8.

El área del paralelogramo es

\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15,

así que

AC\cdot BD\sin\theta=30.

Entonces

\dfrac{48\sin\theta}{\cos^2\theta}=30,

dando

\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac58.

Escribiendo

s=\sin\theta,

8s=5(1-s^2)

da

s=\dfrac{-4+\sqrt{41}}{5},

así que

\cos^2\theta=1-s^2=\dfrac{8(\sqrt{41}-4)}{25}.

Entonces

d^2=BD^2

=\dfrac{64}{\cos^2\theta}

=8(\sqrt{41}+4)

=32+8\sqrt{41},

así que

m+n+p=32+8+41=81.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the diagonals meet at

O

at angle

\theta.

The feet of the perpendiculars from

A

and

C

to

BD

are symmetric about

O,

so

PQ=AC\cos\theta=6;

likewise

RS=BD\cos\theta=8.

The parallelogram’s area is

\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15,

so

AC\cdot BD\sin\theta=30.

Then

\dfrac{48\sin\theta}{\cos^2\theta}=30,

giving

\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac58.

Writing

s=\sin\theta,

8s=5(1-s^2)

gives

s=\dfrac{-4+\sqrt{41}}{5},

so

\cos^2\theta=1-s^2=\dfrac{8(\sqrt{41}-4)}{25}.

Then

d^2=BD^2

=\dfrac{64}{\cos^2\theta}

=8(\sqrt{41}+4)

=32+8\sqrt{41},

so

m+n+p=32+8+41=81.

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12B Spring Problema 24

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2480

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años