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2021 AMC 12A Spring Problema 22

Intenta el Problema 22 del 2021 AMC 12A Spring a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12A Spring, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

22.

Supón que las raíces del polinomio P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c son cos⁡2π7,\cos\tfrac{2\pi}{7}, cos⁡4π7,\cos\tfrac{4\pi}{7}, y cos⁡6π7,\cos\tfrac{6\pi}{7}, donde los ángulos están en radianes. ¿Cuánto vale abcabc?

Suppose that the roots of the polynomial P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c are cos⁡2π7,\cos\tfrac{2\pi}{7}, cos⁡4π7,\cos\tfrac{4\pi}{7}, and cos⁡6π7,\cos\tfrac{6\pi}{7}, where angles are in radians. What is abc?abc?

−349-\dfrac{3}{49}

−128-\dfrac{1}{28}

7364\dfrac{\sqrt[3]{7}}{64}

132\dfrac{1}{32}

128\dfrac{1}{28}

Respuesta: D
Conceptos:raíces de la unidadpolinomioFórmulas de Vieta
Nivel de dificultad: 2450
Solución:

Sean las tres raíces r1,r2,r3.r_1,r_2,r_3. Las séptimas raíces de la unidad dan r1+r2+r3=−12.r_1+r_2+r_3=-\tfrac12. Duplicar los tres ángulos solo permuta sus cosenos, así que ∑ri2=32+12∑ri=54.\sum r_i^2=\tfrac32+\tfrac12\sum r_i=\tfrac54. Por tanto, r1r2+r1r3+r2r3r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3 es igual a 12((∑ri)2−∑ri2)=−12.\tfrac12((\sum r_i)^2-\sum r_i^2)=-\tfrac12.

La identidad de producto a suma da 4r1r2r3=1+r1+r2+r3=12,4r_1r_2r_3=1+r_1+r_2+r_3=\tfrac12, así que r1r2r3=18.r_1r_2r_3=\tfrac18. Por consiguiente, su polinomio mónico es x3+12x2−12x−18=0. x^3 + \tfrac12 x^2 - \tfrac12 x - \tfrac18 = 0.

Al comparar coeficientes, a=12,a = \tfrac12, b=−12,b = -\tfrac12, c=−18.c = -\tfrac18. Por lo tanto, abc=12⋅(−12)⋅(−18)=132.abc = \tfrac12\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot\left(-\tfrac18\right) = \tfrac{1}{32}.

Así, la respuesta correcta es D.

Let the three roots be r1,r2,r3.r_1,r_2,r_3. The seventh roots of unity give r1+r2+r3=−12.r_1+r_2+r_3=-\tfrac12. Doubling the three angles merely permutes their cosines, so ∑ri2=32+12∑ri=54.\sum r_i^2=\tfrac32+\tfrac12\sum r_i=\tfrac54. Hence r1r2+r1r3+r2r3r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3 equals 12((∑ri)2−∑ri2)=−12.\tfrac12((\sum r_i)^2-\sum r_i^2)=-\tfrac12.

The product-to-sum identity gives 4r1r2r3=1+r1+r2+r3=12,4r_1r_2r_3=1+r_1+r_2+r_3=\tfrac12, so r1r2r3=18.r_1r_2r_3=\tfrac18. Therefore their monic polynomial is x3+12x2−12x−18=0. x^3 + \tfrac12 x^2 - \tfrac12 x - \tfrac18 = 0.

Matching coefficients, a=12,a = \tfrac12, b=−12,b = -\tfrac12, c=−18.c = -\tfrac18. Therefore abc=12⋅(−12)⋅(−18)=132.abc = \tfrac12\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot\left(-\tfrac18\right) = \tfrac{1}{32}.

Thus, the correct answer is D.

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El Problema 22 en otros años

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