2020 AMC 12B Problema 24

Question

Sea

D(n)

el número de maneras de escribir el entero positivo

n

como un producto

n = f_1 \cdot f_2 \cdots f_k,

donde

k \ge 1,

los

f_i

son enteros estrictamente mayores que

1,

y el orden en que se listan los factores importa (es decir, dos representaciones que difieren solo en el orden de los factores se cuentan como distintas). Por ejemplo, el número

6

se puede escribir como

6,

2 \cdot 3,

y

3 \cdot 2,

así que

D(6) = 3.

¿Cuánto vale

D(96)

?

Let

D(n)

denote the number of ways of writing the positive integer

n

as a product

n = f_1 \cdot f_2 \cdots f_k,

where

k \ge 1,

the

f_i

are integers strictly greater than

1,

and the order in which the factors are listed matters (that is, two representations that differ only in the order of the factors are counted as distinct). For example, the number

6

can be written as

6,

2 \cdot 3,

and

3 \cdot 2,

so

D(6) = 3.

What is

D(96)?

112

128

144

172

184

Respuesta: A

Conceptos:conteo recursivo factor

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Usa la recursión

D(n) = \sum_{d \mid n,\, d \gt 1} D(\frac{n}{d}),

con

D(1) = 1

.

Use the recursion

D(n) = \sum_{d \mid n,\, d \gt 1} D(\frac{n}{d}),

with

D(1) = 1

Pista grande:

Como

96 = 2^5 \cdot 3,

calcula

D

sucesivamente para los divisores

2,

3,

4,

6,

8,

12,

16,

24,

32,

48,

96

.

Since

96 = 2^5 \cdot 3,

build up

D

on the divisors

2,

3,

4,

6,

8,

12,

16,

24,

32,

48,

96

Solución:

El primer factor

f_1

puede ser cualquier divisor

d \gt 1,

tras lo cual el resto es una factorización ordenada de

\frac{n}{d}.

Así que

D(n) = \sum_{d \mid n,\, d \gt 1} D(\frac{n}{d}),

con

D(1) = 1.

Calculando sobre los divisores de

96 = 2^5\cdot 3:

D(2) = D(3) = 1,

D(4) = 2,

D(6) = 3,

D(8) = 4,

D(12) = 8,

D(16) = 8,

D(24) = 20,

D(32) = 16,

D(48) = 48.

Finalmente

\begin{gathered} D(96) = D(48) + D(32) \\ {}+ D(24) + D(16) + D(12) \\ {}+ D(8) + D(6) + D(4) \\ {}+ D(3) + D(2) + D(1) \\ = 48 + 16 + 20 + 8 \\ {}+ 8 + 4 + 3 + 2 \\ {}+ 1 + 1 + 1 = 112. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The first factor

f_1

can be any divisor

d \gt 1,

after which the rest is an ordered factorization of

\frac{n}{d}.

So

D(n) = \sum_{d \mid n,\, d \gt 1} D(\frac{n}{d}),

with

D(1) = 1.

Computing over the divisors of

96 = 2^5\cdot 3:

D(2) = D(3) = 1,

D(4) = 2,

D(6) = 3,

D(8) = 4,

D(12) = 8,

D(16) = 8,

D(24) = 20,

D(32) = 16,

D(48) = 48.

Finally

\begin{gathered} D(96) = D(48) + D(32) \\ {}+ D(24) + D(16) + D(12) \\ {}+ D(8) + D(6) + D(4) \\ {}+ D(3) + D(2) + D(1) \\ = 48 + 16 + 20 + 8 \\ {}+ 8 + 4 + 3 + 2 \\ {}+ 1 + 1 + 1 = 112. \end{gathered}

Thus, the correct answer is A.