2020 AMC 12A Problema 9

Question

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación

\tan(2x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)

en el intervalo

[0, 2\pi]

?

How many solutions does the equation

\tan(2x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)

have on the interval

[0, 2\pi]?

1

2

3

4

5

Respuesta: E

Conceptos:trigonometría

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

En

[0, 2\pi],

\cos\left(\tfrac{x}{2}\right)

decrece de manera constante desde

1

hasta

-1

.

On

[0, 2\pi],

\cos\left(\tfrac{x}{2}\right)

decreases steadily from

1

to

-1

Pista grande:

\tan(2x)

tiene período

\tfrac{\pi}{2};

cuenta cuántas de sus ramas cruzan esa curva decreciente

\tan(2x)

has period

\tfrac{\pi}{2};

count how many of its branches cross that decreasing curve

Solución:

En

[0, 2\pi],

la gráfica de

\cos\left(\tfrac{x}{2}\right)

es un solo arco que decrece de

1

a

-1.

La función

\tan(2x)

tiene período

\tfrac{\pi}{2}

y asíntotas verticales en

x = \tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}, \tfrac{5\pi}{4}, \tfrac{7\pi}{4}.

Estas dividen el intervalo en cinco ramas. En cada rama,

\tan(2x)

es estrictamente creciente, mientras que

\cos(\tfrac{x}{2})

es decreciente, así que hay a lo sumo una intersección por rama.

Cada una de las tres ramas interiores va de

-\infty

a

+\infty,

así que tiene una intersección. En la primera rama,

\tan(0)=0\lt1=\cos(0)

y la tangente tiende a

+\infty.

En la última, la tangente comienza en

-\infty

y termina en

0\gt-1=\cos\pi.

Por tanto, las dos ramas exteriores también tienen una intersección cada una, para un total de

5

.

Así, E es la respuesta correcta.

On

[0, 2\pi],

the graph of

\cos\left(\tfrac{x}{2}\right)

is a single arc decreasing from

1

down to

-1.

The function

\tan(2x)

has period

\tfrac{\pi}{2}

with vertical asymptotes at

x = \tfrac{\pi}{4}, \tfrac{3\pi}{4}, \tfrac{5\pi}{4}, \tfrac{7\pi}{4}.

These split the interval into five branches. On every branch

\tan(2x)

is strictly increasing, while

\cos(\tfrac{x}{2})

is decreasing, so there is at most one intersection per branch.

Each of the three interior branches runs from

-\infty

to

+\infty,

so each has one intersection. On the first branch,

\tan(0)=0\lt1=\cos(0)

and the tangent tends to

+\infty.

On the last, the tangent starts at

-\infty

and ends at

0\gt-1=\cos\pi.

Thus the two outer branches also have one intersection each, for

5

total.

Thus, E is the correct answer.