2020 AMC 12A Problema 24

Question

Supón que

\triangle ABC

es un triángulo equilátero de lado

s,

con la propiedad de que existe un único punto

P

dentro del triángulo tal que

AP = 1,

BP = \sqrt{3},

y

CP = 2.

¿Cuánto vale

s

?

Suppose that

\triangle ABC

is an equilateral triangle of side length

s,

with the property that there is a unique point

P

inside the triangle such that

AP = 1,

BP = \sqrt{3},

and

CP = 2.

What is

s?

1 + \sqrt{2}

\sqrt{7}

\dfrac{8}{3}

\sqrt{5 + \sqrt{5}}

2\sqrt{2}

Respuesta: B

Conceptos:triángulo equilátero cuadrática

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Para un punto a distancias

p, q, r

de los vértices de un triángulo equilátero de lado

s,

los cuatro valores satisfacen

3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4)

= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2

For a point at distances

p, q, r

from the vertices of an equilateral triangle of side

s,

the four values satisfy

3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4)

= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2

Pista grande:

Sustituye

p^2 = 1,

q^2 = 3,

r^2 = 4

y resuelve la ecuación cuadrática resultante en

s^2

Substitute

p^2 = 1,

q^2 = 3,

r^2 = 4

and solve the resulting quadratic in

s^2

Solución:

Un punto a distancias

p, q, r

de los vértices de un triángulo equilátero de lado

s

satisface

3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4)

= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2.

Con

p^2 = 1,

q^2 = 3,

r^2 = 4,

tomando

S = s^2

se obtiene

3(26 + S^2) = (8 + S)^2,

así que

S^2 - 8S + 7 = 0

y

S = 1

o

S = 7.

Un triángulo de lado

1

no puede contener un punto a distancia

2

de un vértice, así que

S = 7

y

s = \sqrt{7}.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

A point at distances

p, q, r

from the vertices of an equilateral triangle of side

s

satisfies

3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4)

= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2.

With

p^2 = 1,

q^2 = 3,

r^2 = 4,

letting

S = s^2

gives

3(26 + S^2) = (8 + S)^2,

so

S^2 - 8S + 7 = 0

and

S = 1

or

S = 7.

A triangle of side

1

cannot contain a point at distance

2

from a vertex, so

S = 7

and

s = \sqrt{7}.

Thus, B is the correct answer.