2020 AMC 12A Problema 19

Question

Existe una única sucesión estrictamente creciente de enteros no negativos

a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_k

tal que

\frac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + \cdots + 2^{a_k}.

¿Cuánto vale

k

?

There exists a unique strictly increasing sequence of nonnegative integers

a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_k

such that

\frac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + \cdots + 2^{a_k}.

What is

k?

117

136

137

273

306

Respuesta: C

Conceptos:base numérica potencia de 2 factorización

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Escribe

x = 2^{17};

entonces el cociente es

\dfrac{x^{17} + 1}{x + 1} = x^{16} - x^{15} + \cdots + 1

.

Write

x = 2^{17};

then the quotient is

\dfrac{x^{17} + 1}{x + 1} = x^{16} - x^{15} + \cdots + 1

Pista grande:

Agrupa los términos alternados en pares

x^{m+1} - x^m = 2^{17m}(2^{17} - 1),

cada uno un bloque de

17

unos en binario

Group the alternating terms into pairs

x^{m+1} - x^m = 2^{17m}(2^{17} - 1),

each a block of

17

ones in binary

Solución:

Sea

x = 2^{17}.

Entonces

\dfrac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1}

= \dfrac{x^{17} + 1}{x + 1}

= x^{16} - x^{15} + \cdots - x + 1,

una suma alternada de las

17

potencias

x^0, x^1, \ldots, x^{16}.

Empareja cada potencia restada con la potencia sumada justo por encima de ella:

x^{m+1} - x^m

= 2^{17m}(2^{17} - 1)

= 2^{17m} + 2^{17m+1}

+ \cdots + 2^{17m+16},

un bloque de

17

potencias consecutivas de

2.

Hay

8

pares de este tipo, junto con el sobrante

+2^0.

Los bloques ocupan rangos disjuntos, así que el número total de potencias es

8 \cdot 17 + 1 = 137.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let

x = 2^{17}.

Then

\dfrac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1}

= \dfrac{x^{17} + 1}{x + 1}

= x^{16} - x^{15} + \cdots - x + 1,

an alternating sum of the

17

powers

x^0, x^1, \ldots, x^{16}.

Pair each subtracted power with the added power just above it:

x^{m+1} - x^m

= 2^{17m}(2^{17} - 1)

= 2^{17m} + 2^{17m+1}

+ \cdots + 2^{17m+16},

a block of

17

consecutive powers of

2.

There are

8

such pairs, together with the leftover

+2^0.

The blocks occupy disjoint ranges, so the total number of powers is

8 \cdot 17 + 1 = 137.

Thus, C is the correct answer.