2018 AMC 12B Problema 17

Question

Sean

p

y

q

enteros positivos tales que

\dfrac{5}{9}\lt\dfrac{p}{q}\lt\dfrac{4}{7}

y

q

sea lo más pequeño posible. ¿Cuánto vale

q-p

?

Let

p

and

q

be positive integers such that

\dfrac{5}{9}\lt\dfrac{p}{q}\lt\dfrac{4}{7}

and

q

is as small as possible. What is

q-p?

7

11

13

17

19

Respuesta: A

Conceptos:fracción desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Como

9p\gt5q

y

4q\gt7p

con miembros enteros,

9p-5q\ge1

y

4q-7p\ge1

.

Since

9p\gt5q

and

4q\gt7p

with integer sides,

9p-5q\ge1

and

4q-7p\ge1

Pista grande:

Súmalas después de escribir

\tfrac{4}{7}-\tfrac{5}{9}=\tfrac{1}{63}

para acotar

q

.

Add these after writing

\tfrac{4}{7}-\tfrac{5}{9}=\tfrac{1}{63}

to bound

q

Solución:

De

\tfrac59\lt\tfrac pq

obtenemos

9p-5q\ge1,

y de

\tfrac pq\lt\tfrac47

obtenemos

4q-7p\ge1.

Ahora

\begin{gathered} \dfrac{1}{63}=\dfrac47-\dfrac59 \\ =\dfrac{4q-7p}{7q}+\dfrac{9p-5q}{9q} \\ \ge\dfrac{1}{7q}+\dfrac{1}{9q} \\ =\dfrac{16}{63q}. \end{gathered}

Por lo tanto

q\ge16.

Con

q=16,

la fracción

\tfrac{9}{16}

está estrictamente entre

\tfrac59

y

\tfrac47,

así que

p=9

y

q-p=16-9=7.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

From

\tfrac59\lt\tfrac pq

we get

9p-5q\ge1,

and from

\tfrac pq\lt\tfrac47

we get

4q-7p\ge1.

Now

\begin{gathered} \dfrac{1}{63}=\dfrac47-\dfrac59 \\ =\dfrac{4q-7p}{7q}+\dfrac{9p-5q}{9q} \\ \ge\dfrac{1}{7q}+\dfrac{1}{9q} \\ =\dfrac{16}{63q}. \end{gathered}

Hence

q\ge16.

With

q=16,

the fraction

\tfrac{9}{16}

lies strictly between

\tfrac59

and

\tfrac47,

so

p=9

and

q-p=16-9=7.

Thus, the correct answer is A.