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2017 AMC 12B Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2017 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2017 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

El cuadrilátero ABCDABCD tiene ángulos rectos en BB y C,C, △ABC∼△BCD,\triangle ABC \sim \triangle BCD, y AB>BC.AB \gt BC. Hay un punto EE en el interior de ABCDABCD tal que △ABC∼△CEB\triangle ABC \sim \triangle CEB y el área de △AED\triangle AED es 1717 veces el área de △CEB.\triangle CEB. ¿Cuánto vale ABBC\dfrac{AB}{BC}?

Quadrilateral ABCDABCD has right angles at BB and C,C, △ABC∼△BCD,\triangle ABC \sim \triangle BCD, and AB>BC.AB \gt BC. There is a point EE in the interior of ABCDABCD such that △ABC∼△CEB\triangle ABC \sim \triangle CEB and the area of △AED\triangle AED is 1717 times the area of △CEB.\triangle CEB. What is ABBC?\dfrac{AB}{BC}?

1+21 + \sqrt{2}

2+22 + \sqrt{2}

17\sqrt{17}

2+52 + \sqrt{5}

1+231 + 2\sqrt{3}

Respuesta: D
Conceptos:semejanzageometría analíticafórmula del cordón
Nivel de dificultad: 2550
Solución:

Pon BC=1BC = 1 y AB=r>1.AB = r \gt 1. La semejanza △ABC∼△BCD\triangle ABC \sim \triangle BCD con los ángulos rectos sitúa la figura en C=(0,0),C = (0,0), B=(0,1),B = (0,1), A=(r,1),A = (r,1), D=(1r,0).D = \bigl(\tfrac1r, 0\bigr). Sea E=(x,y)E = (x, y) con x,y>0.x, y \gt 0. De △ABC∼△CEB\triangle ABC \sim \triangle CEB obtenemos xy=tan⁡(∠ECB)\dfrac{x}{y} = \tan(\angle ECB) =tan⁡(∠BAC)= \tan(\angle BAC) =1r= \dfrac1r y x2+y2=r21+r2,x^2 + y^2 = \dfrac{r^2}{1 + r^2}, de modo que x=r1+r2,x = \dfrac{r}{1+r^2}, y=r21+r2.y = \dfrac{r^2}{1+r^2}. El área de 1717 es y al calcular con la fórmula del cordón de zapato y plantear se simplifica a r4−18r2+1=0.r^4 - 18r^2 + 1 = 0. Entonces r2=9+45=(2+5)2,r^2 = 9 + 4\sqrt5 = (2 + \sqrt5)^2, así que r=2+5.r = 2 + \sqrt5. [△CEB]=r2(1+r2),[△AED]=r4−r2+12r(1+r2). \begin{aligned} [\triangle CEB]&=\dfrac{r}{2(1+r^2)},\\ [\triangle AED]&=\dfrac{r^4-r^2+1}{2r(1+r^2)}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Set BC=1BC = 1 and AB=r>1.AB = r \gt 1. The similarity △ABC∼△BCD\triangle ABC \sim \triangle BCD with the right angles places the figure at C=(0,0),C = (0,0), B=(0,1),B = (0,1), A=(r,1),A = (r,1), D=(1r,0).D = \bigl(\tfrac1r, 0\bigr). Let E=(x,y)E = (x, y) with x,y>0.x, y \gt 0. From △ABC∼△CEB\triangle ABC \sim \triangle CEB we get xy=tan⁡(∠ECB)\dfrac{x}{y} = \tan(\angle ECB) =tan⁡(∠BAC)= \tan(\angle BAC) =1r= \dfrac1r and x2+y2=r21+r2,x^2 + y^2 = \dfrac{r^2}{1 + r^2}, so x=r1+r2,x = \dfrac{r}{1+r^2}, y=r21+r2.y = \dfrac{r^2}{1+r^2}. The two relevant areas are [△CEB]=r2(1+r2),[△AED]=r4−r2+12r(1+r2). \begin{aligned} [\triangle CEB]&=\dfrac{r}{2(1+r^2)},\\ [\triangle AED]&=\dfrac{r^4-r^2+1}{2r(1+r^2)}. \end{aligned} Setting the second equal to 1717 times the first gives r4−18r2+1=0.r^4 - 18r^2 + 1 = 0. Then r2=9+45=(2+5)2,r^2 = 9 + 4\sqrt5 = (2 + \sqrt5)^2, so r=2+5.r = 2 + \sqrt5.

Thus, the correct answer is D.

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