2017 AMC 12B Problema 22

Question

Abby, Bernardo, Carl y Debra juegan un juego en el que cada uno empieza con cuatro monedas. El juego consta de cuatro rondas. En cada ronda, se colocan cuatro bolas en una urna: una verde, una roja y dos blancas. Cada jugador saca una bola al azar sin reemplazo. Quien saque la bola verde le da una moneda a quien saque la bola roja. ¿Cuál es la probabilidad de que, al final de la cuarta ronda, cada jugador tenga cuatro monedas?

Abby, Bernardo, Carl, and Debra play a game in which each of them starts with four coins. The game consists of four rounds. In each round, four balls are placed in an urn—one green, one red, and two white. The players each draw a ball at random without replacement. Whoever gets the green ball gives one coin to whoever gets the red ball. What is the probability that, at the end of the fourth round, each of the players has four coins?

\dfrac{7}{576}

\dfrac{5}{192}

\dfrac{1}{36}

\dfrac{5}{144}

\dfrac{7}{48}

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Cada ronda tiene

4 \cdot 3 = 12

resultados (dador, receptor) igualmente probables, para

12^4

en total

Each round has

4 \cdot 3 = 12

equally likely (giver, receiver) outcomes, for

12^4

total

Pista grande:

Cuenta las secuencias de resultados que devuelven a todos a

4

monedas: las transferencias netas de cada jugador deben cancelarse; divide en casos según el patrón de intercambios

Count outcome sequences that return everyone to

4

coins: each player’s net transfers must cancel; split into cases by the pattern of exchanges

Solución:

Cada ronda tiene

4 \cdot 3 = 12

pares (dador, receptor) igualmente probables, así que hay

12^4

secuencias de resultados. Todos terminan con cuatro monedas exactamente cuando las cuatro transferencias se cancelan. Los patrones favorables son: un

4

-ciclo de regalos (

24 \cdot 6 = 144

maneras), dos intercambios mutuos disjuntos (

24 \cdot 3 = 72

), un par que intercambia dos veces (

6 \cdot 6 = 36

), y un jugador que a la vez da y recibe de cada uno de otros dos (

4 \cdot 3 \cdot 24 = 288

). Estos suman

144 + 72 + 36 + 288 = 540.

La probabilidad es

\dfrac{540}{12^4} = \dfrac{540}{20736} = \dfrac{5}{192}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each round has

4 \cdot 3 = 12

equally likely (giver, receiver) pairs, so there are

12^4

outcome sequences. Everyone ends with four coins exactly when the four transfers cancel. The favorable patterns are: a

4

-cycle of gifts (

24 \cdot 6 = 144

ways), two disjoint mutual exchanges (

24 \cdot 3 = 72

), one pair exchanging twice (

6 \cdot 6 = 36

), and one player both giving to and receiving from each of two others (

4 \cdot 3 \cdot 24 = 288

). These total

144 + 72 + 36 + 288 = 540.

The probability is

\dfrac{540}{12^4} = \dfrac{540}{20736} = \dfrac{5}{192}.

Thus, the correct answer is B.