Question

Cuatro círculos, de los cuales no hay dos congruentes, tienen centros en $A,$ $B,$ $C,$ y $D,$ y los puntos $P$ y $Q$ están en los cuatro círculos. El radio del círculo $A$ es $\dfrac58$ veces el radio del círculo $B,$ y el radio del círculo $C$ es $\dfrac58$ veces el radio del círculo $D.$ Además, $AB = CD = 39$ y $PQ = 48.$ Sea $R$ el punto medio de $\overline{PQ}.$ ¿Cuánto es $AR + BR + CR + DR$ ?

Four circles, no two of which are congruent, have centers at $A,$ $B,$ $C,$ and $D,$ and points $P$ and $Q$ lie on all four circles. The radius of circle $A$ is $\dfrac58$ times the radius of circle $B,$ and the radius of circle $C$ is $\dfrac58$ times the radius of circle $D.$ Furthermore, $AB = CD = 39$ and $PQ = 48.$ Let $R$ be the midpoint of $\overline{PQ}.$ What is $AR + BR + CR + DR?$

$180$

$184$

$188$

$192$

$196$

Respuesta: D

Conceptos:eje radical mediatriz Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Como cada centro equidista de $P$ y $Q,$ los cuatro centros y $R$ están en la mediatriz de $PQ,$ con $PR=24.$ Consideremos primero dos centros cuyos radios están en razón $5{:}8$ y cuya distancia es $39.$ Si $R$ está entre ellos, sea $y = AR$ y sea $x = \tfrac15$ del radio del círculo $A$ . Entonces $y^2 + 24^2 = 25x^2$ y $(39 - y)^2 + 24^2 = 64x^2.$ Al restar, $x^2 = 39 - 2y,$ de modo que $y^2 + 50y - 399 = 0$ y $y=7.$ Aquí $x=5,$ así que las distancias de los centros a $R$ son $7$ y $32,$ y los radios son $25$ y $40.$

Si los dos centros están del mismo lado de $R,$ sus distancias son $w$ y $w+39.$ Las ecuaciones análogas dan $w^2-50w-399=0,$ de donde $w=57,$ y las distancias son $57$ y $96.$ En este caso los radios son $5\sqrt{153}$ y $8\sqrt{153}.$ Usar la misma colocación para ambos pares $(A,B)$ y $(C,D)$ produciría dos círculos congruentes de cada radio, en contra de la hipótesis. Por tanto, cada par usa una colocación distinta. Sus sumas de distancias son $7+32=39$ y $57+96=153,$ así que el total pedido es $39+153=192.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since every center is equidistant from $P$ and $Q,$ all four centers and $R$ lie on the perpendicular bisector of $PQ,$ with $PR=24.$ First consider two centers whose radii are in the ratio $5{:}8$ and whose distance apart is $39.$ If $R$ lies between them, let $y = AR$ and $x = \tfrac15$ of circle $A$ 's radius. Then $y^2 + 24^2 = 25x^2$ and $(39 - y)^2 + 24^2 = 64x^2.$ Subtracting gives $x^2 = 39 - 2y,$ so $y^2 + 50y - 399 = 0$ and $y=7.$ Here $x=5,$ so the two center distances from $R$ are $7$ and $32,$ and the radii are $25$ and $40.$

If instead the two centers lie on the same side of $R,$ their distances are $w$ and $w+39.$ The analogous equations give $w^2-50w-399=0,$ hence $w=57,$ and the distances are $57$ and $96.$ In this case the radii are $5\sqrt{153}$ and $8\sqrt{153}.$ Using the same placement for both pairs $(A,B)$ and $(C,D)$ would give two congruent circles of each radius, contrary to the hypothesis. Thus one pair uses each placement. Their distance sums are $7+32=39$ and $57+96=153,$ so the requested total is $39+153=192.$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 12B Problema 24

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

El Problema 24 en otros años