2014 AMC 12B Problema 9

Question

El cuadrilátero convexo

ABCD

tiene

AB = 3,

BC = 4,

CD = 13,

AD = 12,

y

\angle ABC = 90^\circ,

como se muestra. ¿Cuál es el área del cuadrilátero?

Convex quadrilateral

ABCD

has

AB = 3,

BC = 4,

CD = 13,

AD = 12,

and

\angle ABC = 90^\circ,

as shown. What is the area of the quadrilateral?

30

36

40

48

58.5

Respuesta: B

Conceptos:Teorema de Pitágoras área del triángulo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Usa el triángulo rectángulo

ABC

para hallar la diagonal

AC

.

Use right triangle

ABC

to find diagonal

AC

Pista grande:

Comprueba si

AC,

AD,

CD

satisfacen

AC^2 + AD^2 = CD^2

.

Check whether

AC,

AD,

CD

satisfy

AC^2 + AD^2 = CD^2

Solución:

Por el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo

ABC,

AC = \sqrt{3^2+4^2} = 5.

Como

5^2 + 12^2 = 13^2,

el recíproco del Teorema de Pitágoras muestra que

\angle DAC = 90^\circ,

por lo que

\triangle DAC

es rectángulo.

El área de

\triangle ABC

es

\tfrac12\cdot3\cdot4 = 6

y el área de

\triangle DAC

es

\tfrac12\cdot5\cdot12 = 30.

El cuadrilátero tiene área

6 + 30 = 36.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By the Pythagorean Theorem in right triangle

ABC,

AC = \sqrt{3^2+4^2} = 5.

Since

5^2 + 12^2 = 13^2,

the converse of the Pythagorean Theorem shows

\angle DAC = 90^\circ,

so

\triangle DAC

is right.

The area of

\triangle ABC

is

\tfrac12\cdot3\cdot4 = 6

and the area of

\triangle DAC

is

\tfrac12\cdot5\cdot12 = 30.

The quadrilateral has area

6 + 30 = 36.

Thus, the correct answer is B.