2014 AMC 12B Problema 17

Question

Sea

P

la parábola con ecuación

y = x^2

y sea

Q = (20, 14).

Existen números reales

r

y

s

tales que la recta que pasa por

Q

con pendiente

m

no interseca a

P

si y solo si

r \lt m \lt s.

¿Cuánto vale

r + s

?

Let

P

be the parabola with equation

y = x^2

and let

Q = (20, 14).

There are real numbers

r

and

s

such that the line through

Q

with slope

m

does not intersect

P

if and only if

r \lt m \lt s.

What is

r + s?

1

26

40

52

80

Respuesta: E

Conceptos:parábola cuadrática Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

La recta es

y = m(x-20) + 14;

iguálala a

x^2

.

The line is

y = m(x-20) + 14;

set it equal to

x^2

Pista grande:

Que no haya intersección significa que el discriminante

m^2 - 80m + 56 \lt 0;

usa la suma de las raíces

r, s

.

No intersection means the discriminant

m^2 - 80m + 56 \lt 0;

use the sum of the roots

r, s

Solución:

La recta que pasa por

Q

es

y = m(x-20) + 14.

Al sustituir en

y = x^2

se obtiene

x^2 - mx + (20m - 14) = 0.

No hay intersección exactamente cuando esto no tiene raíz real, es decir cuando el discriminante

m^2 - 4(20m-14)

= m^2 - 80m + 56

es negativo. Eso ocurre entre las dos raíces

r

y

s

de

m^2 - 80m + 56 = 0.

Por las fórmulas de Vieta,

r + s = 80.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The line through

Q

is

y = m(x-20) + 14.

Substituting into

y = x^2

gives

x^2 - mx + (20m - 14) = 0.

There is no intersection exactly when this has no real root, i.e. when the discriminant

m^2 - 4(20m-14)

= m^2 - 80m + 56

is negative. That happens between the two roots

r

and

s

of

m^2 - 80m + 56 = 0.

By Vieta’s formulas,

r + s = 80.

Thus, the correct answer is E.