2011 AMC 12B Problema 17

Question

Sean

f(x)=10^{10x},

g(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{x}{10}\right),

h_1(x)=g(f(x)),

y

h_n(x)=h_1(h_{n-1}(x))

para enteros

n\ge2.

¿Cuál es la suma de las cifras de

h_{2011}(1)

?

Let

f(x)=10^{10x},

g(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{x}{10}\right),

h_1(x)=g(f(x)),

and

h_n(x)=h_1(h_{n-1}(x))

for integers

n\ge2.

What is the sum of the digits of

h_{2011}(1)?

16{,}081

16{,}089

18{,}089

18{,}098

18{,}099

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo recursión dígitos

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Simplifica

h_1(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right)

a una función lineal.

Simplify

h_1(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right)

to a linear function

Pista grande:

Al iterar se obtiene

h_n(1)

como un número cuyas cifras son todas

8

y termina en

9

.

Iterating gives

h_n(1)

as a number whose digits are all

8

’s ending in a

9

Solución:

Primero,

\begin{aligned} h_1(x) &=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right) \\ &=\log_{10}\!\left(10^{10x-1}\right) \\ &=10x-1. \end{aligned}

Al iterar,

h_n(x)=10^n x

-(1+10+\cdots+10^{n-1}).

Por lo tanto

h_n(1)

es un entero de

n

cifras cuya cifra de las unidades es

9

y todas las demás cifras son

8.

Para

n=2011,

la suma de las cifras es

8\cdot2010+9=16{,}089.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

First,

\begin{aligned} h_1(x) &=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right) \\ &=\log_{10}\!\left(10^{10x-1}\right) \\ &=10x-1. \end{aligned}

Iterating,

h_n(x)=10^n x

-(1+10+\cdots+10^{n-1}).

Therefore

h_n(1)

is an

n

-digit integer whose units digit is

9

and all of whose other digits are

8.

For

n=2011,

the digit sum is

8\cdot2010+9=16{,}089.

Thus, the correct answer is B.