2010 AMC 12B Problema 9

Question

Sea

n

el menor entero positivo tal que

n

es divisible por

20,

n^2

es un cubo perfecto, y

n^3

es un cuadrado perfecto. ¿Cuántos dígitos tiene

n

?

Let

n

be the smallest positive integer such that

n

is divisible by

20,

n^2

is a perfect cube, and

n^3

is a perfect square. What is the number of digits of

n?

3

4

5

6

7

Respuesta: E

Conceptos:factorización en primos potencia perfecta mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Escribe

n=2^a\cdot5^b;

cualquier factor primo adicional solo hace

n

más grande

Write

n=2^a\cdot5^b;

any extra prime factor only makes

n

larger

Pista grande:

n^2

cubo fuerza que

a

y

b

sean múltiplos de

3;

n^3

cuadrado fuerza que

a

y

b

sean múltiplos de

2

n^2

a cube forces

a

and

b

to be multiples of

3;

n^3

a square forces

a

and

b

to be multiples of

2

Solución:

Para ser el menor,

n

usa solo los primos de

20,

así que

n=2^a\cdot5^b

con

a\ge2

y

b\ge1.

Como

n^2=2^{2a}5^{2b}

es un cubo perfecto,

a

y

b

son múltiplos de

3.

Como

n^3=2^{3a}5^{3b}

es un cuadrado perfecto,

a

y

b

son múltiplos de

2.

Por lo tanto

a

y

b

son múltiplos de

6.

La menor elección es

a=b=6,

así que

n=2^6\cdot5^6=10^6=1{,}000{,}000,

que tiene

7

dígitos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

To be smallest,

n

uses only the primes of

20,

so

n=2^a\cdot5^b

with

a\ge2

and

b\ge1.

Since

n^2=2^{2a}5^{2b}

is a perfect cube,

a

and

b

are multiples of

3.

Since

n^3=2^{3a}5^{3b}

is a perfect square,

a

and

b

are multiples of

2.

Hence

a

and

b

are multiples of

6.

The smallest choice is

a=b=6,

so

n=2^6\cdot5^6=10^6=1{,}000{,}000,

which has

7

digits.

Thus, the correct answer is E.

2010 AMC 12B Problema 9

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años