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2010 AMC 12B Problema 22

Intenta el Problema 22 del 2010 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

22.

Sea ABCDABCD un cuadrilátero cíclico. Las longitudes de los lados de ABCDABCD son enteros distintos menores que 1515 tales que BC⋅CD=AB⋅DA.BC\cdot CD=AB\cdot DA. ¿Cuál es el mayor valor posible de BDBD?

Let ABCDABCD be a cyclic quadrilateral. The side lengths of ABCDABCD are distinct integers less than 1515 such that BC⋅CD=AB⋅DA.BC\cdot CD=AB\cdot DA. What is the largest possible value of BD?BD?

3252\sqrt{\dfrac{325}{2}}

185\sqrt{185}

3892\sqrt{\dfrac{389}{2}}

4252\sqrt{\dfrac{425}{2}}

5332\sqrt{\dfrac{533}{2}}

Respuesta: D
Conceptos:cuadrilátero cíclicoTeorema de Ptolomeooptimización
Nivel de dificultad: 2420
Solución:

Sean a=AB,a=AB, b=BC,b=BC, c=CD,c=CD, d=DAd=DA y k=bc=ad.k=bc=ad. Al expresar el área de cada triángulo mediante el circunradio y usar [ABC]+[CDA]=[ABC]+[CDA]= [BCD]+[ABD][BCD]+[ABD], se obtiene (ab+cd)⋅AC=2k⋅BD.(ab+cd)\cdot AC=2k\cdot BD.

El teorema de Ptolomeo da AC⋅BD=ac+bd.AC\cdot BD=ac+bd. Al eliminar AC,AC, BD2=(ac+bd)(ab+cd)2k=12(a2+b2+c2+d2). \begin{aligned} BD^2 &=\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{2k} \\ &=\frac12\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right). \end{aligned}

Los lados son enteros distintos menores que 1515 con bc=ad,bc=ad, así que no puede aparecer ni 1111 ni 1313 (cada uno es primo y necesitaría un factor correspondiente en el otro lado).

Si el lado mayor es a lo sumo 12,12, la suma de los cuatro cuadrados es a lo sumo 122+102+92+82=389,12^2+10^2+9^2+8^2=389, pues no se puede usar 1111.

Supongamos ahora que el lado mayor es 14,14, y escribamos los demás como s1>s2>s3.s_1\gt s_2\gt s_3. La condición de productos debe emparejar 1414 con s3,s_3, por lo que 14s3=s1s2.14s_3=s_1s_2. Entonces uno de s1,s2s_1,s_2 es 7.7. Si s1=7,s_1=7, la suma de cuadrados es menor que 142+72+62+52=306.14^2+7^2+6^2+5^2=306. Si s2=7,s_2=7, entonces s1=2s3,s_1=2s_3, y la mayor posibilidad es (s1,s2,s3)=(12,7,6).(s_1,s_2,s_3)=(12,7,6). Así, 2BD2=142+122+72+62=425, \begin{aligned} 2BD^2 &=14^2+12^2+7^2+6^2 \\ &=425, \end{aligned} de modo que BD≤4252.BD\le\sqrt{\dfrac{425}{2}}. Se alcanza la igualdad con el cuadrilátero cíclico de lados en orden (a,b,c,d)=(14,12,7,6),(a,b,c,d)=(14,12,7,6), para el cual bc=ad=84.bc=ad=84.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let a=AB,a=AB, b=BC,b=BC, c=CD,c=CD, d=DAd=DA and k=bc=ad.k=bc=ad. Writing each triangle's area in terms of the circumradius and using [ABC]+[CDA]=[ABC]+[CDA]= [BCD]+[ABD][BCD]+[ABD] gives (ab+cd)⋅AC=2k⋅BD.(ab+cd)\cdot AC=2k\cdot BD.

Ptolemy's theorem gives AC⋅BD=ac+bd.AC\cdot BD=ac+bd. Eliminating AC,AC, BD2=(ac+bd)(ab+cd)2k=12(a2+b2+c2+d2). \begin{aligned} BD^2 &=\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{2k} \\ &=\frac12\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right). \end{aligned}

The sides are distinct integers below 1515 with bc=ad,bc=ad, so neither 1111 nor 1313 can appear (each is prime and would need a matching factor on the other side).

If the largest side is at most 12,12, the four squares sum to at most 122+102+92+82=389,12^2+10^2+9^2+8^2=389, because 1111 is unavailable.

Now suppose the largest side is 14,14, and write the others as s1>s2>s3.s_1\gt s_2\gt s_3. The product condition must pair 1414 with s3,s_3, so 14s3=s1s2.14s_3=s_1s_2. Hence one of s1,s2s_1,s_2 equals 7.7. If s1=7,s_1=7, the sum of squares is less than 142+72+62+52=306.14^2+7^2+6^2+5^2=306. If s2=7,s_2=7, then s1=2s3,s_1=2s_3, so the largest possibility is (s1,s2,s3)=(12,7,6).(s_1,s_2,s_3)=(12,7,6). Thus 2BD2=142+122+72+62=425, \begin{aligned} 2BD^2 &=14^2+12^2+7^2+6^2 \\ &=425, \end{aligned} so BD≤4252.BD\le\sqrt{\dfrac{425}{2}}. Equality is attained by the cyclic quadrilateral with side order (a,b,c,d)=(14,12,7,6),(a,b,c,d)=(14,12,7,6), for which bc=ad=84.bc=ad=84.

Thus, the correct answer is D.

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