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2010 AMC 12A Problema 17

Intenta el Problema 17 del 2010 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

17.

El hexágono equiangular ABCDEFABCDEF tiene longitudes de lados y El área de △ACE\triangle ACE es el 70%70\% del área del hexágono. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de rr? AB=CD=EF=1AB=CD=EF=1 BC=DE=FA=r.BC=DE=FA=r.

Equiangular hexagon ABCDEFABCDEF has side lengths AB=CD=EF=1AB=CD=EF=1 and BC=DE=FA=r.BC=DE=FA=r. The area of △ACE\triangle ACE is 70%70\% of the area of the hexagon. What is the sum of all possible values of r?r?

433\dfrac{4\sqrt{3}}{3}

103 \dfrac{10}{3}

44

174\dfrac{17}{4}

66

Respuesta: E
Conceptos:polígono equiánguloley de los cosenosFórmulas de Vieta
Nivel de dificultad: 1960
Solución:

Nota que △ACE\triangle ACE es equilátero. Usando la ley de cosenos en △ABC,\triangle ABC, obtenemos AC2=r2+12−2rcos⁡120∘AC^2=r^2+1^2-2r\cos120^\circ =r2+r+1.=r^2+r+1.

El área de △ACE\triangle ACE es entonces 34(r2+r+1). \dfrac{\sqrt3}{4} (r^2 + r + 1).

Los tres triángulos de las esquinas △ABC,\triangle ABC, △CDE,\triangle CDE, y △EFA\triangle EFA tienen cada uno área 12⋅1⋅r⋅sin⁡120∘=r34.\frac12\cdot1\cdot r\cdot\sin120^\circ=\frac{r\sqrt3}{4}.

Así que el hexágono tiene área 34(r2+r+1)\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+r+1) +3⋅r34+3\cdot\dfrac{r\sqrt3}{4} =34(r2+4r+1).=\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+4r+1).

La condición [ACE]=70%⋅[ABCDEF][ACE]=70\%\cdot[ABCDEF] da así que r2−6r+1=0.r^2-6r+1=0. r2+r+1=710(r2+4r+1),r^2+r+1=\dfrac{7}{10}(r^2+4r+1),

Por las fórmulas de Vieta, la suma de los valores posibles de rr es 6.6.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that △ACE\triangle ACE is equilateral. Using the Law of Cosines in △ABC,\triangle ABC, we get AC2=r2+12−2rcos⁡120∘AC^2=r^2+1^2-2r\cos120^\circ =r2+r+1.=r^2+r+1.

The area of △ACE\triangle ACE is then 34(r2+r+1). \dfrac{\sqrt3}{4} (r^2 + r + 1).

The three corner triangles △ABC,\triangle ABC, △CDE,\triangle CDE, and △EFA\triangle EFA each have area 12⋅1⋅r⋅sin⁡120∘=r34.\frac12\cdot1\cdot r\cdot\sin120^\circ=\frac{r\sqrt3}{4}.

Thus the hexagon has area 34(r2+r+1)\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+r+1) +3⋅r34+3\cdot\dfrac{r\sqrt3}{4} =34(r2+4r+1).=\dfrac{\sqrt3}{4}(r^2+4r+1).

The condition [ACE]=70%⋅[ABCDEF][ACE]=70\%\cdot[ABCDEF] gives r2+r+1=710(r2+4r+1),r^2+r+1=\dfrac{7}{10}(r^2+4r+1), so r2−6r+1=0.r^2-6r+1=0.

By Vieta's formulas, the sum of the possible values of rr is 6.6.

Thus, E is the correct answer.

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