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2009 AMC 12B Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2009 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2009 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

¿Para cuántos valores de xx en [0,π][0, \pi] se cumple sin⁡−1(sin⁡6x)=cos⁡−1(cos⁡x)\sin^{-1}(\sin 6x) = \cos^{-1}(\cos x)?
Nota: Las funciones sin⁡−1=arcsin⁡\sin^{-1} = \arcsin y cos⁡−1=arccos⁡\cos^{-1} = \arccos denotan funciones trigonométricas inversas.
For how many values of xx in [0,π][0, \pi] is sin⁡−1(sin⁡6x)=cos⁡−1(cos⁡x)?\sin^{-1}(\sin 6x) = \cos^{-1}(\cos x)?
Note: The functions sin⁡−1=arcsin⁡\sin^{-1} = \arcsin and cos⁡−1=arccos⁡\cos^{-1} = \arccos denote inverse trigonometric functions.
33
44
55
66
77
Respuesta: B
Conceptos:trigonometríaanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2460
Pista pequeña:
En [0,π], cos⁡−1(cos⁡x)=x,[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x, y el lado izquierdo está en [−π2,π2],[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}], así que toda solución requiere x∈[0,π2]x \in [0, \tfrac{\pi}{2}].
On [0,π], cos⁡−1(cos⁡x)=x,[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x, and the left side lies in [−π2,π2],[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}], so any solution needs x∈[0,π2]x \in [0, \tfrac{\pi}{2}]
Pista grande:
Como sin⁡\sin es inyectiva en [−π2,π2],[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}], la ecuación se reduce a sin⁡6x=sin⁡x\sin 6x = \sin x en [0,π2][0, \tfrac{\pi}{2}].
Since sin⁡\sin is one-to-one on [−π2,π2],[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}], the equation reduces to sin⁡6x=sin⁡x\sin 6x = \sin x on [0,π2][0, \tfrac{\pi}{2}]
Solución:
En [0,π], cos⁡−1(cos⁡x)=x.[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x. Como sin⁡−1\sin^{-1} toma valores en [−π2,π2],[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}], toda solución requiere x∈[0,π2],x \in [0, \tfrac{\pi}{2}], donde la ecuación se convierte en sin⁡6x=sin⁡x.\sin 6x = \sin x.
La ecuación sin⁡6x=sin⁡x\sin6x=\sin x se cumple exactamente cuando 6x=x+2kπ,o6x=π−x+2kπ \begin{aligned} 6x&=x+2k\pi, \\ \text{o}\qquad 6x&=\pi-x+2k\pi \end{aligned} para algún entero k.k.
La primera familia da x=2kπ5,x=\tfrac{2k\pi}{5}, aportando 00 y 2π5.\tfrac{2\pi}{5}. La segunda da x=(2k+1)π7,x=\tfrac{(2k+1)\pi}{7}, aportando π7\tfrac\pi7 y 3π7.\tfrac{3\pi}{7}. Por tanto, hay 44 soluciones en [0,π2].[0,\tfrac\pi2].
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
On [0,π], cos⁡−1(cos⁡x)=x.[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x. Since sin⁡−1\sin^{-1} takes values in [−π2,π2],[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}], any solution requires x∈[0,π2],x \in [0, \tfrac{\pi}{2}], where the equation becomes sin⁡6x=sin⁡x.\sin 6x = \sin x.
The equation sin⁡6x=sin⁡x\sin6x=\sin x holds exactly when 6x=x+2kπ,or6x=π−x+2kπ \begin{aligned} 6x&=x+2k\pi, \\ \text{or}\qquad 6x&=\pi-x+2k\pi \end{aligned} for some integer k.k.
The first family gives x=2kπ5,x=\tfrac{2k\pi}{5}, contributing 00 and 2π5.\tfrac{2\pi}{5}. The second gives x=(2k+1)π7,x=\tfrac{(2k+1)\pi}{7}, contributing π7\tfrac\pi7 and 3π7.\tfrac{3\pi}{7}. Hence there are 44 solutions in [0,π2].[0,\tfrac\pi2].
Thus, the correct answer is B.

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