2008 AMC 12B Problema 9

Intenta el Problema 9 del 2008 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

Los puntos

A

y

B

están en un círculo de radio

5

y

AB = 6.

El punto

C

es el punto medio del arco menor

AB.

¿Cuál es la longitud del segmento

AC

?

Points

A

and

B

are on a circle of radius

5

and

AB = 6.

Point

C

is the midpoint of the minor arc

AB.

What is the length of the line segment

AC?

\sqrt{10}

\dfrac{7}{2}

\sqrt{14}

\sqrt{15}

4

Respuesta: A

Conceptos:cuerda mediatriz Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

El radio que pasa por el punto medio del arco

C

biseca perpendicularmente la cuerda

AB,

cortándola en

D

con

AD = 3

.

The radius through the arc midpoint

C

perpendicularly bisects chord

AB,

meeting it at

D

with

AD = 3

Pista grande:

Halla la distancia del centro a la cuerda

OD,

luego

DC = 5 - OD,

y aplica el teorema de Pitágoras al

\triangle ADC

.

Find the center-to-chord distance

OD,

then

DC = 5 - OD,

and apply the Pythagorean theorem to

\triangle ADC

Solución:

Sea

O

el centro y

D

el punto donde

\overline{OC}

corta a

\overline{AB}.

Como

C

es el punto medio del arco

AB,

\overline{OC}

es la mediatriz de la cuerda, así que

AD = 3.

En el triángulo rectángulo

ADO,

OD = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4,

así que

DC = OC - OD = 5 - 4 = 1.

Luego en el triángulo rectángulo

ADC,

AC = \sqrt{AD^2 + DC^2}

= \sqrt{3^2 + 1^2}

= \sqrt{10}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

O

be the center and

D

the point where

\overline{OC}

meets

\overline{AB}.

Since

C

is the midpoint of arc

AB,

\overline{OC}

is the perpendicular bisector of the chord, so

AD = 3.

In right triangle

ADO,

OD = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4,

so

DC = OC - OD = 5 - 4 = 1.

Then in right triangle

ADC,

AC = \sqrt{AD^2 + DC^2}

= \sqrt{3^2 + 1^2}

= \sqrt{10}.

Thus, the correct answer is A.

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