2007 AMC 12B Problema 17

Question

Si

a

es un entero distinto de cero y

b

es un número positivo tal que

ab^2=\log_{10}b,

¿cuál es la mediana del conjunto

\{0,1,a,b,\frac{1}{b}\}

?

If

a

is a nonzero integer and

b

is a positive number such that

ab^2=\log_{10}b,

what is the median of the set

\{0,1,a,b,\frac{1}{b}\}?

0

1

a

b

\dfrac{1}{b}

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo desigualdad mediana (datos)

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Como

b\lt10^b

para todo

b\gt0,

tenemos

\log_{10}b\lt b

.

Since

b\lt10^b

for all

b\gt0,

we have

\log_{10}b\lt b

Pista grande:

Descarta

b\ge1

comprobando si

a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}

puede ser un entero distinto de cero.

Rule out

b\ge1

by checking whether

a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}

can be a nonzero integer

Solución:

Para

b\gt0,

tenemos

b\lt10^b,

y por tanto

\log_{10}b\lt b.

Si

b=1,

entonces

a=0.

Si

b\gt1,

entonces

0\lt\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt1,

así que

a

no podría ser un entero.

Por tanto

0\lt b\lt1,

así que

\log_{10}b\lt0

y

a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt0.

Así

a\lt0\lt b\lt1\lt\dfrac1b,

y el valor central del conjunto ordenado es

b.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For

b\gt0,

we have

b\lt10^b,

hence

\log_{10}b\lt b.

If

b=1,

then

a=0.

If

b\gt1,

then

0\lt\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt1,

so

a

could not be an integer.

Hence

0\lt b\lt1,

so

\log_{10}b\lt0

and

a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt0.

Thus

a\lt0\lt b\lt1\lt\dfrac1b,

and the middle value of the sorted set is

b.

Thus, the correct answer is D.