Question

Si $a$ es un entero distinto de cero y $b$ es un número positivo tal que $ab^2=\log_{10}b,$ ¿cuál es la mediana del conjunto $\{0,1,a,b,1/b\}$ ?

If $a$ is a nonzero integer and $b$ is a positive number such that $ab^2=\log_{10}b,$ what is the median of the set $\{0,1,a,b,1/b\}?$

$0$

$1$

$a$

$b$

$\dfrac{1}{b}$

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo desigualdad mediana (datos)

Nivel de dificultad: 2060

Solución:

Para $b\gt0,$ tenemos $b\lt10^b,$ y por tanto $\log_{10}b\lt b.$ Si $b=1,$ entonces $a=0.$ Si $b\gt1,$ entonces $0\lt\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt1,$ así que $a$ no podría ser un entero.

Por tanto $0\lt b\lt1,$ así que $\log_{10}b\lt0$ y $a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt0.$ Así $a\lt0\lt b\lt1\lt\dfrac1b,$ y el valor central del conjunto ordenado es $b.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $b\gt0,$ we have $b\lt10^b,$ hence $\log_{10}b\lt b.$ If $b=1,$ then $a=0.$ If $b\gt1,$ then $0\lt\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt1,$ so $a$ could not be an integer.

Hence $0\lt b\lt1,$ so $\log_{10}b\lt0$ and $a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt0.$ Thus $a\lt0\lt b\lt1\lt\dfrac1b,$ and the middle value of the sorted set is $b.$

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 12B Problema 17

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2060

Solución:

El Problema 17 en otros años