2006 AMC 12A Problema 9

Question

Oscar compra

13

lápices y

3

borradores por

\$1.00.

Un lápiz cuesta más que un borrador, y ambos artículos cuestan un número entero de centavos. ¿Cuál es el costo total, en centavos, de un lápiz y un borrador?

Oscar buys

13

pencils and

3

erasers for

\$1.00.

A pencil costs more than an eraser, and both items cost a whole number of cents. What is the total cost, in cents, of one pencil and one eraser?

10

12

15

18

20

Respuesta: A

Conceptos:Ecuación diofántica divisibilidad

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Agrupa en

3

conjuntos de un lápiz y un borrador, más

10

lápices adicionales.

Group as

3

sets of one pencil and one eraser, plus

10

extra pencils

Pista grande:

Si

s

es el costo de un lápiz más un borrador, entonces

3s + 10p = 100,

así que

3s

es un múltiplo de

10

.

If

s

is the cost of one pencil plus one eraser, then

3s + 10p = 100,

so

3s

is a multiple of

10

Solución:

Sea

p

el costo de un lápiz y

s

el costo de un lápiz más un borrador, en centavos. Entonces

13p + 3e = 3s + 10p = 100,

así que

3s

es un múltiplo de

10

menor que

100.

Por lo tanto

s \in \{10, 20, 30\},

con

p = 7, 4, 1

respectivamente.

Como un lápiz cuesta más que un borrador,

p \gt \tfrac{s}{2},

lo que se cumple solo para

s = 10

(lápiz

7

, borrador

3

). Así que un lápiz y un borrador cuestan

10

centavos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

p

be a pencil’s cost and

s

the cost of one pencil plus one eraser, in cents. Then

13p + 3e = 3s + 10p = 100,

so

3s

is a multiple of

10

less than

100.

Hence

s \in \{10, 20, 30\},

with

p = 7, 4, 1

respectively.

Since a pencil costs more than an eraser,

p \gt \tfrac{s}{2},

which holds only for

s = 10

(pencil

7,

eraser

3

). So one pencil and one eraser cost

10

cents.

Thus, the correct answer is A.