2005 AMC 12A Problema 9

Question

Hay dos valores de

a

para los cuales la ecuación

4x^2 + ax + 8x + 9 = 0

tiene una sola solución para

x.

¿Cuál es la suma de esos valores de

a

?

There are two values of

a

for which the equation

4x^2 + ax + 8x + 9 = 0

has only one solution for

x.

What is the sum of those values of

a?

-16

-8

0

8

20

Una ecuación cuadrática tiene una sola solución exactamente cuando su discriminante es

0

.

A quadratic has one solution exactly when its discriminant is

0

Escribe el coeficiente lineal como

a + 8

e iguala

(a+8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 0

.

Write the linear coefficient as

a + 8

and set

(a+8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 0

La ecuación es

4x^2 + (a+8)x + 9 = 0.

Tiene una sola solución cuando el discriminante se anula:

(a+8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 0,

así que

(a+8)^2 = 144

y

a + 8 = \pm 12.

Por lo tanto

a = 4

o

a = -20,

y su suma es

-16.

Así, la respuesta correcta es A.

The equation is

4x^2 + (a+8)x + 9 = 0.

It has one solution when the discriminant vanishes:

(a+8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 0,

so

(a+8)^2 = 144

and

a + 8 = \pm 12.

Thus

a = 4

or

a = -20,

and their sum is

-16.

Thus, the correct answer is A.

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