2004 AMC 12B Problema 22

Question

El cuadrado

\begin{array}{|c|c|c|} \hline 50 & b & c \\ \hline d & e & f \\ \hline g & h & 2 \\ \hline \end{array}

es un cuadrado mágico multiplicativo. Es decir, el producto de los números en cada fila, columna y diagonal es el mismo. Si todas las entradas son enteros positivos, ¿cuál es la suma de los posibles valores de

g

?

The square

\begin{array}{|c|c|c|} \hline 50 & b & c \\ \hline d & e & f \\ \hline g & h & 2 \\ \hline \end{array}

is a multiplicative magic square. That is, the product of the numbers in each row, column, and diagonal is the same. If all the entries are positive integers, what is the sum of the possible values of

g?

10

25

35

62

136

Respuesta: C

Conceptos:cuadrado mágico sistema de ecuaciones divisibilidad

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Expresa cada entrada en términos de

b

usando los productos iguales.

Express every entry in terms of

b

using the equal products

Pista grande:

Las relaciones de las esquinas fuerzan

c = \dfrac{20}{b}

y

d = \dfrac{4}{b},

así que

b \in \{1, 2, 4\}

.

The corner relations force

c = \dfrac{20}{b}

and

d = \dfrac{4}{b},

so

b \in \{1, 2, 4\}

Solución:

A partir de la igualdad de los productos por fila, columna y diagonal, cada entrada puede escribirse en términos de

b:

h = \dfrac{100}{b},

g = \dfrac{100}{c},

f = \dfrac{100}{d}.

Comparando filas y columnas se obtiene

c = \dfrac{20}{b}

y

d = \dfrac{4}{b},

de donde

g = 5b

y

e = 10.

Todas las entradas son enteros positivos exactamente cuando

b = 1, 2,

o

4,

lo que da

g = 5, 10, 20.

Su suma es

35.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

From the equal row, column, and diagonal products, every entry can be written in terms of

b:

h = \dfrac{100}{b},

g = \dfrac{100}{c},

f = \dfrac{100}{d}.

Comparing rows and columns gives

c = \dfrac{20}{b}

and

d = \dfrac{4}{b},

hence

g = 5b

and

e = 10.

All entries are positive integers exactly when

b = 1, 2,

or

4,

giving

g = 5, 10, 20.

Their sum is

35.

Thus, the correct answer is C.