2004 AMC 12A Problema 24

Question

Un plano contiene puntos

A

y

B

con

AB = 1.

Sea

S

la unión de todos los discos de radio

1

en el plano que cubren

\overline{AB}.

¿Cuál es el área de

S

?

A plane contains points

A

and

B

with

AB = 1.

Let

S

be the union of all disks of radius

1

in the plane that cover

\overline{AB}.

What is the area of

S?

2\pi + \sqrt{3}

\dfrac{8\pi}{3}

3\pi - \dfrac{\sqrt{3}}{2}

\dfrac{10\pi}{3} - \sqrt{3}

4\pi - 2\sqrt{3}

Respuesta: C

Conceptos:descomposición de áreas sector circular círculo

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Un disco de radio

1

cubre

\overline{AB}

exactamente cuando su centro está a distancia menor o igual a

1

de

A

y de

B

.

A radius-

1

disk covers

\overline{AB}

exactly when its center lies within

1

of both

A

and

B

Pista grande:

Halla esa región

R

en forma de lente de centros, luego

S

es todos los puntos a distancia menor o igual a

1

de

R

.

Find that lens-shaped region

R

of centers, then

S

is all points within

1

of

R

Solución:

Un disco de radio

1

cubre el segmento

\overline{AB}

exactamente cuando su centro está a distancia menor o igual a

1

de

A

y de

B.

Esa región

R

es la lente donde se solapan las dos circunferencias unitarias centradas en

A

y

B

.

Cada circunferencia unitaria pasa por el centro de la otra, así que la lente está delimitada por dos arcos de

120^\circ

. Dos sectores de

120^\circ

de área

\tfrac{\pi}{3}

se solapan en dos triángulos equiláteros de área total

\tfrac{\sqrt3}{2},

lo que da a

R

un área de

\tfrac{2\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}.

El conjunto

S

consiste en todos los puntos a distancia menor o igual a

1

de

R.

Más allá de

R

mismo, esto añade dos sectores de

60^\circ

de radio

1

(cada uno de área

\tfrac{\pi}{6}

) y dos coronas de

120^\circ

de radio exterior

2

y radio interior

1

(cada una de área

\pi

).

Por lo tanto, el área de

S

es

\begin{aligned} &\left(\tfrac{2\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + 2 \cdot \tfrac{\pi}{6} \\ &\quad {}+ 2\pi = 3\pi - \tfrac{\sqrt3}{2}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A radius-

1

disk covers segment

\overline{AB}

exactly when its center is within

1

of both

A

and

B.

That region

R

is the lens where the two unit circles centered at

A

and

B

overlap.

Each unit circle passes through the other’s center, so the lens is bounded by two

120^\circ

arcs. Two

120^\circ

sectors of area

\tfrac{\pi}{3}

overlap in two equilateral triangles of total area

\tfrac{\sqrt3}{2},

giving

R

area

\tfrac{2\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}.

The set

S

consists of all points within

1

of

R.

Beyond

R

itself, this adds two

60^\circ

sectors of radius

1

(each area

\tfrac{\pi}{6}

) and two

120^\circ

annuli of outer radius

2

and inner radius

1