2004 AMC 12A Problema 17

Question

Sea

f

una función con las siguientes propiedades:

(i)

f(1) = 1,

y

(ii)

f(2n) = n \cdot f(n)

para cualquier entero positivo

n.

¿Cuál es el valor de

f(2^{100})

?

Let

f

be a function with the following properties:

(i)

f(1) = 1,

and

(ii)

f(2n) = n \cdot f(n)

for any positive integer

n.

What is the value of

f(2^{100})?

1

2^{99}

2^{100}

2^{4950}

2^{9999}

Respuesta: D

Conceptos:ecuación funcional recursión sumatoria

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Aplica la regla repetidamente con

n = 2^{k}

para desenrollar

f(2^{100})

.

Apply the rule repeatedly with

n = 2^{k}

to unwind

f(2^{100})

Pista grande:

El exponente se acumula como

1 + 2 + \cdots + 99

.

The exponent accumulates as

1 + 2 + \cdots + 99

Solución:

Aplicando

f(2n) = n \cdot f(n)

con

n = 2^{k},

obtenemos

f(2^{k+1}) = 2^{k} \cdot f(2^{k}).

Desenrollando desde

f(2^1) = f(2) = 1 \cdot f(1) = 2^0,

los exponentes se acumulan:

\begin{aligned} f(2^n) &= 2^{0 + 1 + 2 + \cdots + (n-1)} \\ &= 2^{\frac{n(n-1)}{2}}. \end{aligned}

Por lo tanto,

f(2^{100}) = 2^{\frac{100 \cdot 99}{2}} = 2^{4950}.

Por consiguiente, la respuesta correcta es D.

Applying

f(2n) = n \cdot f(n)

with

n = 2^{k},

we get

f(2^{k+1}) = 2^{k} \cdot f(2^{k}).

Unwinding from

f(2^1) = f(2) = 1 \cdot f(1) = 2^0,

the exponents accumulate:

\begin{aligned} f(2^n) &= 2^{0 + 1 + 2 + \cdots + (n-1)} \\ &= 2^{\frac{n(n-1)}{2}}. \end{aligned}

Therefore

f(2^{100}) = 2^{\frac{100 \cdot 99}{2}} = 2^{4950}.

Thus, the correct answer is D.