2003 AMC 12B Problema 19

Question

Sea

S

el conjunto de las permutaciones de la sucesión

1,

2,

3,

4,

5

para las que el primer término no es

1.

Se elige una permutación al azar de

S.

La probabilidad de que el segundo término sea

2,

en su forma más simple, es

\frac{a}{b}.

¿Cuánto vale

a + b

?

Let

S

be the set of permutations of the sequence

1,

2,

3,

4,

5

for which the first term is not

1.

A permutation is chosen randomly from

S.

The probability that the second term is

2,

in lowest terms, is

\frac{a}{b}.

What is

a + b?

5

6

11

16

19

Respuesta: E

Conceptos:permutaciones probabilidad condicional

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Cuenta

S

directamente:

4

opciones para el primer término, luego

4!

para el resto

Count

S

directly:

4

choices for the first term, then

4!

for the rest

Pista grande:

Cuenta las permutaciones de

S

cuyo segundo término es

2:

el primer término es

3, 4,

o

5

Count permutations in

S

whose second term is

2:

the first term is

3, 4,

or

5

Solución:

El conjunto

S

contiene

4 \cdot 4! = 96

permutaciones, ya que el primer término tiene

4

opciones y los cuatro términos restantes se pueden ordenar de

4!

maneras.

Para que el segundo término sea

2,

el primer término debe ser

3, 4,

o

5

(no

1,

no

2

), lo que da

3

opciones, y los tres términos restantes se pueden ordenar de

3!

maneras:

3 \cdot 3! = 18.

La probabilidad es

\dfrac{18}{96} = \dfrac{3}{16},

así que

a + b = 3 + 16 = 19.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The set

S

contains

4 \cdot 4! = 96

permutations, since the first term has

4

choices and the remaining four terms can be arranged in

4!

ways.

For the second term to be

2,

the first term must be

3, 4,

or

5

(not

1,

not

2

), giving

3

choices, and the remaining three terms can be arranged in

3!

ways:

3 \cdot 3! = 18.

The probability is

\dfrac{18}{96} = \dfrac{3}{16},

so

a + b = 3 + 16 = 19.

Thus, the correct answer is E.