2003 AMC 12A Problema 24

Question

Si

a \ge b \gt 1,

¿cuál es el mayor valor posible de

\log_a(\frac{a}{b}) + \log_b(\frac{b}{a})

?

If

a \ge b \gt 1,

what is the largest possible value of

\log_a(\frac{a}{b}) + \log_b(\frac{b}{a})?

-2

0

2

3

4

Simplifica a

2-\log_a b-\log_b a

.

Simplify to

2-\log_a b-\log_b a

Con

c=\log_a b\gt0,

usa

c+\dfrac1c\ge2

.

With

c=\log_a b\gt0,

use

c+\dfrac1c\ge2

Desarrolla:

\begin{aligned} &\log_a\dfrac ab+\log_b\dfrac ba \\ &\quad {}=(1-\log_a b)+(1-\log_b a) \\ &\quad {}=2-\left(\log_a b+\log_b a\right). \end{aligned}

Sea

c=\log_a b\gt0.

Como

c+\dfrac1c\ge2

por AM-GM, la expresión es a lo sumo

0.

La igualdad se cumple cuando

c=1,

es decir, cuando

a=b,

así que el mayor valor es

0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Expand:

\begin{aligned} &\log_a\dfrac ab+\log_b\dfrac ba \\ &\quad {}=(1-\log_a b)+(1-\log_b a) \\ &\quad {}=2-\left(\log_a b+\log_b a\right). \end{aligned}

Let

c=\log_a b\gt0.

Since

c+\dfrac1c\ge2

by AM-GM, the expression is at most

0.

Equality holds when

c=1,

that is, when

a=b,

so the largest value is

0.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 24 en otros años