2003 AMC 12A Problema 22

Question

Los objetos

A

y

B

se mueven simultáneamente en el plano coordenado mediante una sucesión de pasos, cada uno de longitud uno. El objeto

A

parte de

(0, 0)

y cada uno de sus pasos es hacia la derecha o hacia arriba, ambos igualmente probables. El objeto

B

parte de

(5, 7)

y cada uno de sus pasos es hacia la izquierda o hacia abajo, ambos igualmente probables. ¿Cuál de los siguientes valores es el más cercano a la probabilidad de que los objetos se encuentren?

Objects

A

and

B

move simultaneously in the coordinate plane via a sequence of steps, each of length one. Object

A

starts at

(0, 0)

and each of its steps is either right or up, both equally likely. Object

B

starts at

(5, 7)

and each of its steps is either left or down, both equally likely. Which of the following is closest to the probability that the objects meet?

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Respuesta: C

Conceptos:caminos reticulares camino aleatorio biyección

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Solo pueden encontrarse después de que cada uno haya dado

6

pasos, a lo largo de la recta

x+y=6

.

They can meet only after each has taken

6

steps, along the line

x+y=6

Pista grande:

El número de pares de trayectorias que se encuentran es

\binom{12}{5}

de un total de

2^{12}

pares.

The number of meeting path-pairs equals

\binom{12}{5}

out of

2^{12}

total pairs

Solución:

Los objetos están a

12

pasos de distancia, así que solo pueden encontrarse después de que cada uno dé

6

pasos, sobre la antidiagonal

x+y=6.

Emparejar la trayectoria de seis pasos de

A

con la trayectoria de seis pasos invertida de

B

pone en correspondencia uno a uno los pares que se encuentran con los

\binom{12}{5}

caminos monótonos de

(0,0)

a

(5,7).

La probabilidad es

\dfrac{\binom{12}{5}}{2^{12}}=\dfrac{792}{4096}\approx0.19,

que es la más cercana a

0.20.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The objects are

12

steps apart, so they can only meet after each takes

6

steps, on the anti-diagonal

x+y=6.

Pairing

A

’s six-step path with

B

’s reversed six-step path matches meeting pairs one-to-one with the

\binom{12}{5}

monotone walks from

(0,0)

to

(5,7).

The probability is

\dfrac{\binom{12}{5}}{2^{12}}=\dfrac{792}{4096}\approx0.19,

which is closest to

0.20.

Thus, the correct answer is C.