2003 AMC 12A Problema 19

Question

Una parábola con ecuación

y = ax^2 + bx + c

se refleja respecto al eje

x

. La parábola y su reflexión se trasladan horizontalmente cinco unidades en direcciones opuestas para convertirse en las gráficas de

y = f(x)

y

y = g(x),

respectivamente. ¿Cuál de las siguientes opciones describe la gráfica de

y = (f + g)(x)

?

A parabola with equation

y = ax^2 + bx + c

is reflected about the

x

-axis. The parabola and its reflection are translated horizontally five units in opposite directions to become the graphs of

y = f(x)

and

y = g(x),

respectively. Which of the following describes the graph of

y = (f + g)(x)?

una parábola tangente al eje

x

a parabola tangent to the

x

-axis

una parábola no tangente al eje

x

a parabola not tangent to the

x

-axis

una recta horizontal

a horizontal line

una recta no horizontal

a non-horizontal line

la gráfica de una función cúbica

the graph of a cubic function

Respuesta: D

Conceptos:parábola transformación función

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Escribe la parábola como

a(x-h)^2+k;

su reflexión es

-a(x-h)^2-k

.

Write the parabola as

a(x-h)^2+k;

its reflection is

-a(x-h)^2-k

Pista grande:

Tras los desplazamientos opuestos

\pm5

, suma

f

y

g

y observa cómo se cancelan los términos cuadráticos.

After the opposite

\pm5

shifts, add

f

and

g

and watch the squared terms cancel

Solución:

Escribe la parábola en forma de vértice

y=a(x-h)^2+k.

Su reflexión respecto al eje

x

es

y=-a(x-h)^2-k.

Al desplazar en direcciones opuestas se obtiene

f(x)=a(x-h+5)^2+k

y

g(x)=-a(x-h-5)^2-k.

Al sumar, los términos cuadráticos se cancelan y

(f+g)(x)=20a(x-h),

que es una recta no horizontal ya que

a\neq0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write the parabola in vertex form

y=a(x-h)^2+k.

Its reflection about the

x

-axis is

y=-a(x-h)^2-k.

Shifting in opposite directions gives

f(x)=a(x-h+5)^2+k

and

g(x)=-a(x-h-5)^2-k.

Adding, the squared terms cancel and

(f+g)(x)=20a(x-h),

which is a non-horizontal line since

a\neq0.

Thus, the correct answer is D.