2002 AMC 12B Problema 22

Intenta el Problema 22 del 2002 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2002 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

22.

Para todos los enteros

n

mayores que

1,

define

a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}.

Sea

b=a_2+a_3+a_4+a_5

y

c=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}.

Entonces

b-c

es igual a

For all integers

n

greater than

1,

define

a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}.

Let

b=a_2+a_3+a_4+a_5

and

c=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}.

Then

b-c

equals

-2

-1

\dfrac{1}{2002}

\dfrac{1}{1001}

\dfrac{1}{2}

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Nota que

\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n

.

\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n

Pista grande:

Entonces

b-c

=\log_{2002}\dfrac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14}

; simplifica la fracción.

Then

b-c

=\log_{2002}\dfrac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14}

; simplify the fraction

Solución:

Por cambio de base,

a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n.

Así

\begin{gathered} b-c \\ {}=\log_{2002}\frac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14}. \end{gathered}

La fracción es igual a

\dfrac{120}{240240}=\dfrac{1}{2002},

así que

b-c=\log_{2002}\dfrac{1}{2002}=-1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By change of base,

a_n=\dfrac{1}{\log_n 2002}=\log_{2002} n.

So

\begin{gathered} b-c \\ {}=\log_{2002}\frac{2\cdot3\cdot4\cdot5}{10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14}. \end{gathered}

The fraction equals

\dfrac{120}{240240}=\dfrac{1}{2002},

so

b-c=\log_{2002}\dfrac{1}{2002}=-1.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 22 en otros años