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2001 AMC 12 Problema 17

Intenta el Problema 17 del 2001 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2001 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

17.

Se selecciona al azar un punto PP del interior del pentágono con vértices A=(0,2),A = (0, 2), B=(4,0),B = (4, 0), C=(2π+1,0),C = (2\pi + 1, 0), D=(2π+1,4),D = (2\pi + 1, 4), y E=(0,4).E = (0, 4). ¿Cuál es la probabilidad de que ∠APB\angle APB sea obtuso?
A point PP is selected at random from the interior of the pentagon with vertices A=(0,2),A = (0, 2), B=(4,0),B = (4, 0), C=(2π+1,0),C = (2\pi + 1, 0), D=(2π+1,4),D = (2\pi + 1, 4), and E=(0,4).E = (0, 4). What is the probability that ∠APB\angle APB is obtuse?
15\dfrac{1}{5}
14\dfrac{1}{4}
516\dfrac{5}{16}
38\dfrac{3}{8}
12\dfrac{1}{2}
Respuesta: C
Conceptos:probabilidad geométricaángulo inscritoárea
Nivel de dificultad: 1790
Pista pequeña:
∠APB\angle APB es obtuso exactamente cuando PP está dentro del círculo que tiene a ABAB como diámetro
∠APB\angle APB is obtuse exactly when PP lies inside the circle having ABAB as diameter
Pista grande:
Ese semicírculo está enteramente dentro del pentágono, así que compara su área con el área del pentágono
That semicircle lies entirely inside the pentagon, so compare its area to the pentagon’s area
Solución:
∠APB=90∘\angle APB = 90^\circ cuando PP está sobre el círculo con diámetro AB,AB, centrado en (2,1)(2, 1) con radio ∣AB∣2=202=5.\dfrac{|AB|}{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}. El ángulo es obtuso cuando PP está dentro de este círculo.
El semidisco relevante está completamente dentro del pentágono, con área 12π(5)2=5π2.\dfrac{1}{2}\pi(\sqrt{5})^2 = \dfrac{5\pi}{2}.
El pentágono es el rectángulo con esquinas (0,0),(0,0), C,C, D,D, EE menos el triángulo OAB,OAB, así que su área es 4(2π+1)−12(2)(4)=8π. 4(2\pi + 1) - \dfrac{1}{2}(2)(4) = 8\pi.
La probabilidad es 5π28π=516.\dfrac{\frac{5\pi}{2}}{8\pi} = \dfrac{5}{16}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
∠APB=90∘\angle APB = 90^\circ when PP is on the circle with diameter AB,AB, centered at (2,1)(2, 1) with radius ∣AB∣2=202=5.\dfrac{|AB|}{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}. The angle is obtuse when PP is inside this circle.
The relevant half-disk lies wholly within the pentagon, with area 12π(5)2=5π2.\dfrac{1}{2}\pi(\sqrt{5})^2 = \dfrac{5\pi}{2}.
The pentagon is the rectangle with corners (0,0),(0,0), C,C, D,D, EE minus triangle OAB,OAB, so its area is 4(2π+1)−12(2)(4)=8π. 4(2\pi + 1) - \dfrac{1}{2}(2)(4) = 8\pi.
The probability is 5π28π=516.\dfrac{\frac{5\pi}{2}}{8\pi} = \dfrac{5}{16}.
Thus, the correct answer is C.

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